中考数学矩形大法讲座

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1、中考数学矩形大法讲座学生也要进入期末复习了，我和同事今晚在这里也来交流复习一下“矩形大法”，也是我们这些学生向于特交的一份作业也希望熟悉“矩形大法”的群友，一起和我完成这份作业讲座中肯定有许多不完善的地方，有不妥的地方还请大家多多包涵，也真诚地希望大家提出來，我们一起研讨！还有由于本人不会儿何画板，所有的图都不怎么漂亮，大家也就将就点看咯◎我们主要从三个方面和大家交流：一：“矩形大法”的提出背景二：“矩形大法”的基本构造三：“矩形大法”的实例应用一、矩形大法”的提出背景问题：我们如何刻I田i一个角大小呢？是的，角的大小有两种刻画方法：一种是传统的、人人皆知

2、的度数刻画法；另一种是常被我们忽略的边长刻画法（即三角函数值）。如果两个角的大小是用度数体现的，那么这两个角的和与差的度数能够非常容易地计算出来。但如果两个角的大小是采用边t（即三角函数值）刻画的，那么两个角的和或差的大小是多少呢？自然，这两个角和与差的大小也只能采用三角函数值刻画。也许学习数学的人笫一反应是马上想到高屮的两角和与差的三角公式但现在讨论的背景是初中数学教学因此我们要回避用高中数学知识作为南通人，我首先要提的就是南通2014年的28题笫三问：（2014南通）如图，抛物线尸一/+2兀+3与x轴相交于卫、办两点，与》轴交于。顶点为D设卩为x轴上的

3、一点，ZDAO+ZDPO=Z^当tanZa=4时，求点卩的坐标，不知大家第一次看到这道题的第一反应是什么？能否在短时问中用传统方法解决？看到两角和差关系这样的条件想到什么？本题它有比较巧妙的求法，但要发现，还是需要一定的时I'可的。这里涉及到两角和差关系，需要说明的是，命题人员绝非希望你采用高中“两角和与差的三角公式”去解决问题，这是由于：⑴他们当初没有意识到采用这样的思考方法是合理的，而且只要方法得当，的确能够解决问题.⑵即使意识到了，他们认为因为初中不具备这样的知识，有这样的想法却因为不具备的能力，从而无法解决原问题.⑶最关键的原因是，由于命题人员想出

4、了构思极为巧妙，常人很难想到的解法.于是，这样的考题在不知不觉中出现了，而且通常情况下，这样的考题必定处于试卷中的难题位置.那如果我们能有比较好的方法去破解这个和差关系，那不就可以不花多少时间直接攻破此题了呢！再譬如今年盐城的屮考题第3问：（2016-盐城改编）如图，已知A（-3,0）sC（l』）、G（0,3^3）心（3）连接CG,如图，P为AACG內一点，连接P入PC、PG,分别以AP、至G为辺，在他们的左侧作等辺AAPR,等辺△至GQ,连接Q2②求PA+PC+PG的最小值，芥求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标.3这题给出的答案也比较复杂，我想

5、学生在短时间里容易找到点P的位置却不易求出点P坐标。那么这题究竟如何成功破解呢？而类似这样的问题不管小题，大题，其实在屮考屮是比较多的。现在的问题是，有些题目构思非常巧妙，但采用“因果确定法”思考，面临的困难就是：己知两个角的大小（边长刻画），最后只有在解决了这两个角的和或差的问题后，才能真正解决原问题。那么有没有既遵从原始的“因果确定法”的思考方法，又付出代价不大，同时还易于操作的解法呢？也即如何做到“想有背景，解不超纲”呢？这就让人开始思考从比值刻画一个角的大小，就得出现一个包含这个锐角的直角三角形。那么两个角呢？就必须出现两个直角三角形。最后还要有两

6、个角的和或差的大小的比值刻画，即出现了笫三个角，又必须出现一个含有这个和角或差角的直角三角形。这样就需要三个直角三角形，那么怎样才能沟通彼此联系呢？在平时的基本构图模型中有吗？在这些想法的基础上，朦朦胧胧地继续探求构造，最后终于产生了那个精妙绝伦的矩形一一一下子全部满足了要求！为了在网络上交流，既有一定的趣味性，又揭示方法的本质，于特将其取名为“矩形大法”。我们在课堂上有时为了表述的方便或激发学生的学习兴趣和积极性，也可以一起命些名称，不必太过计较说法，我的课堂里还有个“晨博公式”呢！（晨博是我现在的一个学生名字）二、“矩形大法”的基本构造下面我们以75°

7、,15°这两个特殊角为例聊聊矩形的构造我们可以通过30°与15°的倍半角关系求出tan!5°的值，通过互余关系求出tan75°的值。那如果利用30°,45°这两角的和差关系又该怎样构图表示出75。与15°的正切值呢？1、先思考75°即45°与30°和的构造：我们知道两角和与差，在图形中，通常体现出三条线a为构图方便，第一条线（蓝色）通常选择水平或铅垂（如图），红色为二号线（两角的公共边），绿色为三号线a根据刚才的阐述，我们究竟该如何用比值来刻画45°,30°,以及75。这三个角呢?首先得先把45°角（Zl）30。角（Z2）都雯构徑一个直角三角形中，a其次构

8、一线三直角•为了有75。，想到平行角相等，所以构矩形心具体操作的时