2018年高中数学黄金100题系列第65题空间角的计算理

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1、I.题源探究•黄金母题第65题空间角的计算【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD丄底面ABCD,PD二DC,点E是PC的中点，作EF丄PB交PB于点F.⑴证明琏按交BD于点G,EC,A(1,0,0),P(0,0,1),H(0,-,q),因为底面ABCD是正方形，所好・G罡此正方形的中心，故点G的坐标为吩$0)尼弘⑴Of=)所1bbV).PA-2EG・H】PA//EG.EGJ平面回B・H“a平面回B・囚此F"/平直EDB.<2)^=U,l.-l).又P£=(0,1,A),锻PB.DE0+1-10»所以丹丄堆.2222由已知EF丄PB.HNPflQE=E・侨臥PU丄平

2、ifiQEFD・(3)解：已知PB丄EF,由⑵可知PB丄DF,故ZEFD是二面角C-PB-D的平面角.设点F的坐标为(x,y,z)，则PF=(X,y,z-1).因为PF=kPB,所以PB・DF=O,(1)求证:PA//平面EDB;(2)求证:PB丄平面EFD;(3)求二而角C-PB-D的大小.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)60°.【解析】如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点,设DC=1.所以(1,1,-1)•(k,k,l-k)=k+k-l+k=3k-l=0,1112所以k=—，点F的坐标为(一3333又点E的坐标为(0,丄,丄)，22所以FE=(--,-因为366cosZ.EFD

3、=FEFD~FE~FD即ZEFD二60°,即二面角C-PB-D的大小为60°.【点睛】直线与平面平行与垂直的证明，二面角大小的求解是高热点中的热点，几乎每年必考，而此例题很好的展现了，用向量方法证明直线与平面平行与垂直,还给出了用向量方法求二面角的大小.11・考场精彩•真题回放【例2］【2017课标TT理10］己知直三棱柱ABC—A

4、B

5、G屮，ZABC=120°,AB=2,BC二CC

6、=1,则异面直线AB】与BC,所成角的余弦值为（）A.昼B.世25C.迥5【答案】C【解析】分析：如图所示，补成四棱柱ABCD_ABCU,ZBCD,・・BC=近,则所求角为BD=V22+l-2x2xlxco

7、s60°=a/3,C,D=AB}=厉因此cosZBCQV2_Vio故选c。B【名师点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线屮的一条或两条，作出界面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；/"④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,-,当2所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条界面直线所成的角。求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围。【例31[2016高考浙江】如图,已知平面四边形ABCD,A护B&3,CZM,力少厉，Zz4Z?

8、6=90°・沿直线ZIC将翻折成△ACD',直线与BD'【答案】丰【解析】分析：设直线AC与3D’所成角为&•设0是AC中点,由已知得AC=V6,如图,以OB为x轴，OA为y轴，过O与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由a（o，¥，o）,皿孚0,0）,c（0,—¥，0）,作DH丄AC于翻折过程屮，DH始终与AC垂直,则吩孕D占專因此可设D（迴cosg,—«■，趣sina）,636则閑=（互cos—些卫更si讷,6236UU1与CA平行的单位向量为/?=（0,1,0）,3J9-5cosquuurBDrntitttrBD'nuuurr所以cos0-cos所以COS

9、时,cos&収最大值鱼.9D.y

10、7丄圆锥底面，在底面内可以过点B,作BDUa,交底面圆C于点〃，如图所示，连结加，则DE丄BD,・・.DEDb,连结初，等腰△弭劭中，AB=AD=^2，当直线力〃与白成60°角【点睛】先建立空间直角坐标系，再计算与C入平行的单位向量丘和进而可得直线AC与BD'所成角的余弦值，最后利用三角函数的性质可得直线AC与BD'所成角的余弦值的最大值.【例4】[2017浙江9】如图，己知正四面体D-ABC（所