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《2017-2018学年高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程1椭圆的参数方程学案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.椭圆的参数方程x=acos(e是椭圆的参数方程22⑴中心在原点,焦点在龙轴上的椭畛+『1的参数方程是参数),规定参数0的取值范南是C知实数/22y满足右+話=1,求目标函数z=x—2y的最大值与最小值.将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式,将问题转化成三角函数求最值问题.椭圆金+話=1的参数方程为;r=5cos(P,y=4sin(P(e为参数)•代入目标函数得z=5cos>—8sin(!)=p5‘+8‘cos(
+0o)(tan所以目标函数Zmin=—*/89,Zmax[方法・规律・小结]利用椭圆的参数方程,求日标函数的最大(小)值,通常是利用辅
2、助角公式转化为三角函数求解.〃〃〃氐他集利v////22XV1.已知椭圆虧+転=1,点〃的坐标为(3,0).在椭圆上找一点只使点P与点〃的距离最大.5COS0解:椭圆的参数方程为d./(〃为参数).y=4sinB设P(5cos0,4sin“),贝!
3、PA=~5cos~〃_3~~^~+~~4sin~~~〃+25=寸3cos〃一5=3cos〃-50,当cos〃=—1吋,
4、以
5、最大.此时,sin〃=0,点"的坐标为(-5,0).2.椭圆-+j=1上一动点/«/,y)与定点水NO)(0<自<3)之间的距离的最小值为1,求a的值.解:椭圆的参数方程为才=3cosy=2sin(〃为参数).设动点户
6、(3cos()、2sin“),则PA2=(3cos〃一»+4sin2〃=5(cos0-尹)-討+4.39・・・0GV3,・・・0<尹<亍于是33若0<2日W1,则当cos〃=三日时,PA^=—纟日2+4=1,得日=寧(舍去);0匕3Q若1<訐亏则当COS〃=1时,由I7^4Imin—6^+9=1,得
7、臼一3
8、=1,.•・臼=2,故满足要求的白值为2.椭圆参数方程的应用:求轨迹方程已知〃分别是椭圆—+^-=1的右顶点和上顶点,动点C在该椭圆上运动,求△肋r的重心G的轨迹方程.由条件可知,A,〃两点坐标已知,点C在椭圆上,故可设出点C坐标的椭圆参数方程形式,由三角形重心坐标公式求解•由
9、题意知J(6,0),«0,3).由于动点C在椭圆上运动,故可设动点C的坐标为(6cos纥3sin点G的坐标设为(尢y),由三角形重心的坐标公式可得'6+0+6cos0x=0+3+3sin0y=x=2+2cos0,y=1+sin0•V—92消去参数〃得到'「+(y—1)2=1.[方法•规律•小结]木题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性,运用参数方程显得很简单,运算更简便.//////^^集诃么力z223.已知椭圆方程是話+彳=1,点水6,6),戶是椭圆上一动点,求线段以中点0的轨迹方程.jx=4cos0,解:椭圆的参数方程为o。(〃为参数).[y=3sin0设P(4cos0,
10、3sin0),Q〈x,y),则有「4cos〃+6片=2,V3sin〃十6、尸2,x=2cos〃+3,即3n.(“为参数).y=-sin〃+3.*.9(%-3)2+16(y-3)2=36,即为所求轨迹方程.4.设斤,尺分别为椭圆了+7=1@>力>0)的左、右两个焦点.(1)若椭圆C上的点畀(1,
11、)到R,尺的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点,求线段用戶的中点的轨迹方程.解:(1)由椭圆上点力到凡尺的距离之和是4,得2自=4,即<a=2.又点彳1,导在椭圆上,因此扌+弓~=1,得F=3,于是C=3—^=1,22所以椭圆Q的方程为才+彳=1,焦点
12、坐标为幷(一1,0),尺(1,0).(2)设椭圆C上的动点"的坐标为(2cos0,£sin“),线段必的中点坐标为52cos〃一1V5sin〃+0所以x+t;=cos0、2y0.消去〃,得(x+*)+¥=l・即为线段虫户中点的轨迹方程.椭圆参数方程的应用:恒成立问题2X已知椭圆^+7=1上任一点〃(除短轴端点外)与短轴两端点B,5的连线分別交X轴于只0两点,求证: P・丨为定值.利用参数方程,设出点財的坐标,并由此得到直线奶,宓的方程,从而得到化Q两点坐标,求出 P,
13、W
14、,再求・丨%
15、的值.设J/(2cos0,sin0),0为参数,2(0,-1),3(0,1).sin/+1则也
16、的方程:y+l=;匚上ZCOS(P令y=0,则2cosesin0+1’OP=2cose1+sin(P宓的方程:sin0—1y~[=2cos0x,令y=0,2cose1—sin(!)2cose1—sin"2cose1+sin"2cose1—sin(!)即・丨%
17、=4为定值.[方法・规律・小结]利用参数方程证明定值(或恒成立)问题,首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出來,然后利用条件消去参数,得到一个与参数无