§2平面和直线

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1、§2平面和直线一、平面的点法式方程立体几何知识告诉我们，给定了与平面垂直的方向和平面上的任意一点，就可以唯一确定这个平面。定义(法向量):与平面垂直方向的非零向量称为这个平面的法向量，记为nABC(,,).1设Pxyz(,,)为平面上的一个点，0000znnABC(,,)为平面的法向量。P0平面上任一点Pxyz(,,)，P则PPnoy0x即nPP00即Ax(x)By(y)Cz(z)0＊000为平面的点法式方程。(AxByCz)000＊式变形为AxByCzD0为平面的一般式（普通）

2、方程。2说明：若A,B,C有一个或两个为零，即此法向量n在相应的一个坐标轴上的投影为零，则法向量n(,,)ABC垂直于相对应的一个或两个坐标轴。例1、求过点M0(2,-1,4)和y轴的平面方程。解：10建立所求平面的点法式方程20建立平面的一般方程3二、确定平面的另一类条件不在一条直线上的三个点唯一确定一张平面。设平面所过的三个点为：Pxyz(,,),Pxyz(,,),Pxyz(,,),000011112222∴该平面的法向量n，nPP01,nPP02,nPPPP0102假设Pxyz(,,)为平面上任一

3、点，则由点法式得nPP(PPPP)PP0001020称为平面的三点式方程。4由混合积的定义、性质得xxxxxx10200四点共面的条件：yyyyyy010200zzzzzz10200展开后为AxByCzD0说明：在实际计算时，可将已知点PPP0,,12的坐标代入平面的一般方程，用待定系数法解出方程，比用三点式方程计算简便。5例2、求过点A(2,-1,4),B(-1,3,-2),C(0,2,3)的平面方程。解：10用平面的普通方程20用平面的点法式方程6特殊情况:当平面所过的三个

4、点分别来自于三个坐标轴上的点，设为Pa(,0,0),P(0,,0),bP(0,0,),c012z代入平面的一般式方程为P2aAD0bBD0yPoP01cCD0x1）当a,b,c均不为零时，平面方程为：xyz平面截距式方程1abc7z2）当a,b,c中只有一个为零时，P(0,0,c)2所确定的平面为坐标平面P(0,b,0)1oy当a=0零时，Oyz平面x=0，xP0(a,0,0)当b=0零时，Oxz平面y=0，当c=0零时，Oxy平面z=0.8三、直线方程的几种形式确定空间中的一条直线主要

5、条件有两类1、确定直线的方向和直线上的一个点2、确定直线上的两个点91、设直线的方向向量为llmn(,,),zl直线所过的点为Pxyz(,,),0000P∴直线上任何一点Pxyz(,,),P0显然PP∥l即PPl0y00oxxyyzz000即xlmn称为直线的对称式方程，或点向式方程。xxyyzz000说明：若l,m,n中有等于零的，如0mnxx00则将上述方程改写为yy0zz0mnxxyyzzxx00如000则改写为00nyy00102、若

6、给定了直线上的两个点P0(x0,y0,z0),P1(x1,y1,z1)则PP的方向就是直线l的方向向量，01∴由直线的对称式方程得xxyyzz000xxyyzz101010为直线的两点式方程。3、直线的参数方程xxyyzz000直线的对称式方程中，记tlmnxxtl0yy0tmt(,)直线的一组方向数zz0tn为直线的参数方程。11x2y3z4例3、求直线L:与112平面:2xyz60的交点。124、空间直线L可以看做是两张互不平行的

7、平面:AxByCzD与:AxByCzD1111122222相交成的直线，∴空间直线L上的任何点的坐标应同时满足这两个平面的方程，AxByCzD01111即应满足方程组＊AxByCzD02222反过来，如果点M不在直线L上，那么它不可能同时在平面和平面上，即它不满足＊式。12∴直线L可用方程组＊即联立方程组表示，AxByCzD01111AxByCzD02222称为空间直线的一般（普通）方程。13z平面1的法向量nABC1(1,1,1)1平面的法向量

8、nABC(,,)222222直线L的方向向量lnl12,nLoy即l∥()nn12x∴可取lnn12例4、用对称式方程及参数方程来表示直线xyz101(n1)L2xy3z402(n2)14例5、一直线l通过点A(1,2,1),且垂直于直线x11yzxl:又与直线l:yz相交，123212求该直线l