数学《计数原理》素材(新人教a版选修2-3)

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1、高考计数原理考点分析计数原理与实际生活联系紧密，思考方法和解题方法与其它内容有很大不同，具有“四强”特点，即概念性强、抽象性强、实用性强、灵活性强，在每年高考中是必考内容．本文归纳总结了高考常见考查方式，以供参考．　　考点1　考查两个原理的直接应用问题　　例1将3种作物种植在如下图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有_______种．（以数字作答）　　解析：分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设种a，再安排第二块田种b或c有2种方法，不妨设种b，第三块田也有2种方法种a或c．　　

2、（1）若第三块田种c：则第四、五块田分别有2种方法，共有2×2种方法．　　（2）若第三块田种a：第四块田仍有2种方法．　　①若第四块田种c：第五块田仍有2种方法．　　②若第四块田种b：则第五块田只能种c，共有3种方法．　　综上，共有种方法．　　评注：两个原理是解决排列、组合应用题的基础，应用两个原理时，关键是根据自己对问题的分析，先分类再分步．-5-　　考点2考查特殊元素或特殊位置的优先考虑问题　　例2从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________个．　　解析：符合

3、条件的四位数的个位必须是0，5，但不能排在首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排，按照0排在个位，0排在十、百位和不含0为标准分为三类：　　①0排在个位能被5整除的四位数有个；　　②0排在十、百位，但5必须排在个位有个；　　③不含0，但5必须排在个位有个．　　由分类加法计数原理得所求四位数共有300个．　　评注：若排列中有特殊元素或特殊位置时，一般既可先处理特殊元素，也可先处理特殊位置，依据具体情况而定，在本题中0，5是特殊元素，首位和末位是特殊位置．　　考点3　考查相邻排列计算问题　　例3　有件不同的产品排成一排，若其中两件不同的产品排在一起的排法有4

4、8种，则________．　　解析：将两件产品看作一个大元素，与其他产品排列有种排法；对于上述的每种排法，两件产品之间又有种排法，由分步乘法计数原理得满足条件的不同排法有种，故．　　评注：对于含有某几个元素相邻的排列问题可先将相邻元素“捆绑”起来视为一个元素，与其他元素一起进行全排列，然后再对相邻元素内部进行全排列，这就是处理相邻排列问题的“捆绑”法．　　考点4　考查互不相邻排列计算问题　　例4　有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2个人不左右相邻，那么不同排法的种数是（　　）　　Ａ．234Ｂ．

5、346Ｃ．350Ｄ．363　　解析：∵前排中间3个座位不能坐，　　∴实际可坐的位置前排8个，后排12个．　　（1）两人一个前排，一个后排方法数为．　　（2）两人均在后排，安排2人的座位插入10个座位之间的空隙及两边，共有种排法．-5-　　（3）两人均在前排，又分两类：　　①两人一左一右，有种排法；　　②两人同左或同右时，有种排法．　　综上，不同排法的种数为．故选答案Ｂ．　　评注：对于含有某几个元素互不相邻的排列问题，可先将其他元素排成一排，然后将不相邻的元素插入这些排好的元素之间及两端的空隙中，这就是解决互不相邻问题最为奏效的“插空”法．　　考点5　考查

6、排列、组合混合计算问题　　例5　某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（　　）　　Ａ．234Ｂ．346Ｃ．350Ｄ．363解析：把新转来的4名学生平均分两组，每组2人，分法有种，把这两组人安排到6个班中的某2个中去，有种方法，故不同的安排种数为，故选答案Ｂ．　　评注：对于排列组合混合问题，可运用先分组后排列的策略求解．无次序分组问题常有“均匀分组、部分均匀分组、非均匀分组”等三种类型．计数时常有下面结论：对于其中的“均匀分组”和“部分均匀分组”问题，只需按“非均匀分组”列式后，再除以

7、均匀组数的全排列数．　　考点6　考查排列、组合有关的几何计算问题　　例6　从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（　　）　　Ａ．56Ｂ．52Ｃ．48Ｄ．40解法一：从正方体的8个顶点中任取3个顶点可构成个三角形，其中非直角三角形的有两类：　　①上底面的每个顶点所在的侧面对角线与下底面相应的对角线构成1个正三角形，上底面的4个顶点共构成4个非直角三角形；　　②下底面的4个顶点所在的侧面对角线与上底面相应的对角线构成4个非直角三角形．故所求直角三角形共有个．故选答案Ｃ．　　解法二：正方体的6个表面及6个对角面都是矩形，而每个矩形

8、可构成个直角三角形，故共有直角三角形个．故选答案Ｃ．-5-　　评注：求解几何图形