复变函数之美.docx

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1、复变函数之美钱学森92班陈喆歆09045040时光飞逝，转眼间2009年就要过去，崭新的一年即将到来。在这过去的一年当中，我们逐渐摆脱了大一时的青涩与懵懂，渐渐融入了大学生这一角色，找到了大学生应有的学习状态，也感受到了研究与探索给我们带来的快乐。而其中，有一门承接性很强、研究价值很高同时应用范围极广的课程在这一过程中扮演了极其重要的角色。正是它立体而严密的理性与逻辑构架和广泛而重大的应用价值让我们对理科研究对工科发展的重要意义有了更加深刻而全面的了解。这门课程便是复变函数。在一个学期临近尾声之时，我将借此文为契机，简要地概括本人对复变函数这门课程的简单

2、理解，浅谈复变函数的美之所在，为自己即将过去的一个学期的学习做一个小小的总结，也为自己归纳出一套复变函数的学习心得，为今后类似课程的学习打下坚实的基础。何谓复变函数对于理科类学科的学习而言，最重要的一点莫过于概念的清晰程度。因为所有的推导、证明以及应用，归根结底都是在基本概念的基础上衍生而来的。因此只有将相关概念真正理解同时牢记于心，才可以真正地走进一门学科，真正的领略一门学科的美妙与精华所在。在我的理解看来，复变函数从某种意义上来说可以看成是大一所学的高等数学的一种延伸与拓展。在高等数学，也就是我们通常所说的微积分学中，我们所研究讨论的对象都是实函数，

3、也就是函数的定义域与值域所代表的集合都是实数集合。这样的研究将许多生活中遇到的数学问题用实变函数的微分与积分表达出来，让我们能够很快地了解一些微积分中的基本概念、知识以及应用技巧。但是同时，实变函数的应用范围十分狭窄。尤其是电力、土木工程等方面的计算和问题中，实变函数几乎可以算是毫无用武之地。因此为了能够更好地解决工程中遇到的问题，我们便对现有的实变函数进行了拓展延伸，创建了复变函数体系，并总结发现了一系列复变函数的定义、定理、方法以及技巧。我们设G为一个复数集合。如果存在一个确定的法则f，使得对于每个z∈G，按此法则就有唯一的复数w与它相对应，那么称f

4、为定义在G上的一个单值复变函数，记作w=f(z)(z∈G)。其中集合G称为函数f的定义域，记作D(f)=G。对应于G中所有z的一切w值的集合G*，称为函数f的值域，记作R(f)=G*。如果每个z∈G对应于多个祸无穷多个w的值，那么撑f是一个多值复变函数。这便是复变函数的定义。在复变函数这门课程中，我们学习了复变函数的定义、微分、积分、级数以及留数等内容，同时还学习基本变换中的傅里叶变化及拉普拉斯变换，从概念、应用、计算技巧等方面都有了初步而全面的学习和理解。该课程的学习为我们初步建立起了一套相对完整的在复数域下函数研究的理论体系，为我们今后的理科及工科学

5、习打下了坚实的基础。复变函数的精确之美精确是所有理科研究学科，尤其是数学学科的一个重要特点，这一点在复变函数中也体现的尤为明显。复变函数是将复数域之间的映射的特点和关系进行全面系统的总结和归纳。其研究对象就是复数域之间映射的函数关系。因此在复变函数的研究中基本都是代数运算，没有带数字之后为计算方便而出现约等的情况。当然复变函数的精确美远远不止表现与这些方面，下面我对此做一些简要的归纳。1、概念的精确程度。为了解决问题的方便，复变函数的研究中总结归纳了许多的定理和方法。但每一种的定理与方法都有其十分明确的适用范围和使用方法。这是为了保证它们在被使用于求解相

6、应问题时不出现错用、误用而最终导致结果有偏差甚至完全错误。比如在我们在计算闭路积分时常运用的留数定理就有其很明确的适用范围。函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析，同时该闭路路径是区域D内的路径且包含所有的奇点。只有当函数以及积分满足上述所有条件时，才能够对这一积分使用留数定理求解，否则结果与实际结果将相去甚远。此外，复变函数在许多相似概念的区分上也做到了精确二字。如可导、连续以及解析之间的区别，在复变函数中就体现的尤为明显。连续是指：设函数w=fz定义在z0的一个邻域U(z0,ρ)中，若limz→z0fz=fz0，则称f(z)在z0处连续。可

7、导是指设函数w=fz定义于区域D，点z0、z0+∆zϵD。若极限lim∆z→0∆w∆z=lim∆z→0fz0+∆z-fz0∆z存在，则称fz在z0处可导。若函数fz在区域D内处处可导，则称fz在D内可导。而解析函数则是在个别点上可导的函数要求要更强的一类可导函数，它是指若函数w=fz在点z0∈C及其一个邻域内处处可导，则称fz在点z0处解析。若fz在区域D内处处解析，则称fz在D内解析，此时也称fz是D内的一个解析函数。由此，复变函数在研究中对于概念的精确把握与要求，可见一斑。2、结论的精确程度。作为一门研究数的学科，复变函数对于结果的精确程度是有着相当

8、高的要求的。在绝大部分问题上，复变函数的求解结果都是一个代数式或者函数式。也就是