切应力公式推导

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1、第六章弯曲应力§6－1梁的正应力一、纯弯曲与平面假设1、纯弯曲——梁或梁上的某段内各横截面上只有弯矩而无剪力(如图5－1中的CD段)。2、横力弯曲——梁或梁上的某段内各横截面上既有弯矩又有剪力(如图6－1中的AC、BD段)。alABaACD(a)FF图6－1FS图M图(b)(c)FFFa3、梁的纯弯曲实验横向线(mn、pq）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为弧线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍保持垂直。由梁变形的连续性可知：在梁中一定有一层上的纤维既不伸长也不缩短，此层称为中性层。中性层与梁横截面的交线称为

2、中性轴。图6－2(b)(a)mnpqmnpqFFCD4、根据表面变形情况，对纯弯曲变形下作出如下假设：（1）平面假设梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持垂直。（2）单向受力假设梁的纵向纤维处于单向受力状态，且纵向纤维之间的相互作用可忽略不计。二、正应力公式的推导1、几何方面相应的纵向线应变为：（6－1）弧线O1O2的长度为：(a)距中性层为y处的纵向纤维ab的伸长为：(b)图6−3(b)中性层中性轴abO1O2mnpq(a)dx

3、mnpqdθρy(c)dxabO2O12、物理方面将式代入，得（6－2）此式表明，梁横截面上的正应力与其作用点到中性轴的距离成正比，并且在y坐标相同的各点处正应力相等，如图5−4所示。图6－4梁的各纵向纤维均处于单向受力状态，因此，在弹性范围内正应力与线应变的关系为：(c)3、静力学方面由图6−4可以看出，梁横截面上各微面积上的微内力dFN=σdA构成了空间平行力系，它们向截面形心简化的结果应为以下三个内力分量，，由截面法可知，上式中的FN，My均等于零，而MZ就是该截面上的弯矩M，所以有(d)(e)(f)图6－

4、4又因为不等于零，所以有(g)即梁横截面对中性轴（z轴）的静矩等于零。由此可知，中性轴通过横截面的形心，于是就确定了中性轴的位置。(d)(e)(f)由式（e）可得因此(h)即梁横截面对y、z轴的惯性积等于零，说明y、z轴应为横截面的主轴，又y、z轴过横截面的形心，所以其应为横截面的形心主轴。(d)(e)(f)最后由式（f）可得上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。将式（6−3）代入式（6−2），可得梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为（6－4）（6－3）即有yzOdAyzhb应用此式时，如果如图中那样取y轴向

5、下为正的坐标系来定义式中y的正负，则在弯矩M按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表示拉应力或压应力。但实际应用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力为拉应力还是压应力；在此情况下可以把式中的y看作求应力的点离中性轴z的距离。三、梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为（6－4）四、横截面上的最大应力yc,maxyt,maxyzbd1hOd2中性轴z为横截面对称轴的梁其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴z不是横截面对称轴的梁(如图)，其横截面

6、上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值为（6－5）式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数，其单位为m3。横截面上应力分布hbzyoyc,maxyt,maxyzbd1Od2中性轴z不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为在竖向荷载作用下，通常梁横截面上不仅有弯矩而且有剪力，这种情况下我们称之为横力弯曲。而实际工程中的梁，大多发生的都是横力弯曲。对于工程实际中常用的梁，应用纯弯曲时的正应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横截面上的正应力，所得

7、的结果虽略偏低一些，但足以满足工程中的精度要求。五、横力弯曲解：先求出C截面上弯矩例题6−1长为l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F=1.5kN，求C截面上K点的正应力。例题6－1图截面对中性轴的惯性矩将MC、Iz、y代入正应力计算公式，则有K点的正应力为正值，表明其应为拉应力。§6－2梁的正应力强度条件及其应用一、梁的正应力强度条件对梁的某一横截面来讲，最大正应力发生在距中性轴最远的位置，此时而对整个等截面梁来讲，最大正应力应发生在弯矩最大的横

8、截面上，距中性轴最远的位置，即（6－5）式中的Wz称为弯曲截面系数，它与梁的截面形状和尺寸有关。对矩形截面对圆形截面各种型钢的截面惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz的数值，可以在型钢表中查得。为了保证梁能安全的工作，必须使梁横截面上的最大正应力不超过材料的许用应力，所以梁的正应力强度条件为（6－6）式中的Wz称为弯曲截面系数，它与梁的截面形状和尺寸有关。二、三种强度问题的计算根