曲梁正应力公式推导论

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1、材料力学课程论文院（部）：船舶与海洋工程学院专业：机械设计制造及其自动化小组：1413104班第二小组组长：马冬指导教师：马冬曲梁正应力公式推导论文摘要：根据矩形截面直梁的正应力推导方法，推导出在纯弯曲情况下曲梁正应力的近似公式。当曲梁上的分布载荷可用单一的多项式表示时，该公式在取时与直梁正应力的精确解一致，在其他情况下有些误差，但比弹性力学的结果来的简单，并且在一定范围内可以直接应用，完全满足精度要求。本文给出了材料力学中曲梁的正应力公式、中性层位置方程及该公式与弹性力学结果的比较，并讨论了该公式和方法的普适性、应用范围。

2、关键词：纯弯曲、正应力、剪应力、中性层、材料力学、弹性力学。假设：在材料力学直梁的弯曲正应力公式推导中，引入了平面假设和纵向层之间没有正应力的假设。为此我们仍然假设曲梁在纯弯曲的情况下，变形后截面仍是平面且纵向层之间没有正应力。曲梁仅受纯弯曲，不考虑复杂受力情况。1.曲梁正应力公式推导（详细过程见附录）图（a）图（b）⑴变形几何关系弯曲变形前、后的梁端如图（a）所示，曲梁的截面尺寸如图（b）所示。图''（a）中为中性层的曲率半径。因为变形前后中性层长度不变知道：dd距离中性层为y处变形后的长度：lyd（''）变形后

3、ll'y变形后原求得线段bb的应变为：()aly'原⑵物理关系因为纵向层之间无正应力，每一纵向层都是单向拉伸或压缩。当应力小于比例极限时，由胡克定律知：E()b⑶静力关系由于内外力必须满足平衡方程Fx0和My0，故有FMNy0,0。ahy2FdAEdA0即dy0NAAah2yah2y(1)0dyahy2可得：ahhh2e1②MZAd0自然成立yA③横截面上的内力系最终只归结为一个力偶M，即弯矩M。z'2ah/2yMMydAMbdy()czA'ah/2yEh2a2yh2'Mhd

4、yahhah代入式()c得：baha-y'E2'yMy又E'yabhy()hh综上所述：中性层位置方程为ah2e1My曲梁正应力公式为abh()y2.当ρ→∞时曲梁正应力公式退化为直梁正应力公式a随ρ的变化趋势15的大小a12.5107.552.5005101520253035404550556065707580859095100ρ的大小图（1）图（1）是令h10,20,30做出的一簇曲线，可知随着的增大a都逐渐趋于0。实际上ρ为无穷大时，曲梁退化成直梁，a理应趋于0，说明该公式正确

5、。σ随ρ的变化趋势0.80.775的大小0.75σ0.7250.70.6750.650.6250.60.5750.550.5250.50.4750.450.4250.40.3750.350.3250.305101520253035404550556065707580859095100ρ的大小图（2）图（2）是取M100，h10，b42、，y24、做出的两条曲线。由图可3知：时，0.8，0.6，实际上直梁时=Mybh/(/12)0.8，121=0.6，说明，曲梁正应力公式退化直梁正应力公式。23.与弹性力学结果的比较：2224

6、Mbbbrbb弹性力学中曲梁正应力公式：(-1-ln-ln-ln)2222Naaaaarr22bb22b其中：N(-1)-4(ln)22aaa上述公式是从单位宽度的梁来考虑的。由于公式中的相同字母含义不一样，必须将字母统一，ryabhhba并且中的b应该为1。hb22e1ln()ahbabaM(r)bln()a推出：=abba()()rba2bln()a式中a，b和弹性力学中的a，b是相同的，分别表示内半径、外半径。其中：arbMATLAB图像输出：图（1）中取Mab10,1,2；图（2）中取Mab10,1,10。材料力学与

7、弹性力学结果的比较60504030正应力的大小20100-10-20-30-40-50-60弹性力学的结果-70材料力学的结果-8011.11.21.31.41.51.61.71.81.92r的大小变化图（3）材料力学与弹性力学结果的比较0.50.250弹性力学的结果正应力的大小-0.25材料力学的结果-0.5-0.75-1-1.25-1.5-1.75-2-2.25-2.511.522.533.544.555.566.577.588.599.510r的大小图（4）图（3）可知：采用材料力学的方法所推出的解与精确解几乎没有误差

8、。图（4）可知:随着ba的增大，材料力学的解不能很好的符合精确解，有一定偏差。并且在ba=4时相差最大，此时的误差为136.42%远超出5%的工程许用范围，故ba10该公式不适用。通过MATLAB数值（具体数值见附表）分析可以得出：13ba的范围内最大误差在5%左右，故截面尺寸在该范围内的