永寿县中学2011年青年教师解题能力大赛（数学试题）.doc

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1、永寿县中学2011年青年教师解题能力大赛数学试题第Ⅰ卷(选择题共50分)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，若，那么由的值所组成的集合的子集个数（）A．1B．2C．3D．42.定义运算，则满足的复数z是（）A．B.C.D.xxxxOOOOyyyyA..．BCD3.函数的部分图像是（）4.若函数，则的值为（）A．B．C．D．5.一个几何体的三视图如图所示，若它的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个正三角形，则这个几何体

2、的表面积是（）A．B.C.D.6.如果，且，那么角的取值范围是（）A．B．C．D．否存在零点？输出函数结束是开始输入函数是否7.流程如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是（）A．B．C．D．8.在中，若，则该的形状为()A.锐角三角形　　　　　　　　B.钝角三角形C.直角三角形　　　　　　　　D.等腰三角形9.过双曲线上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于M、N两点，则的值是（　）A.B.C.D.10.已知是方程的根，是方程x·10x=2011的根，则x1·x2等于（）A．2009B．2010C．2011D．2012※请把选择题答案填写在下面的表格中.题号1234567

3、8910答案第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上.11．圆的圆心到直线的距离小于，则实数的取值范围为____________．12.已知，，若向区域上随机投一点P，则点P落在区域的概率为.13.某种电热器的水箱盛水200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按匀加速度自动注水（即t分钟自动注水升），当水箱内的水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水量为65升，则该电热器一次至多可供____人洗浴.14.已知，则满足不等式的实数的最小值是_________．15．（注意：请在下列三题中任选

4、一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分．）A．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中圆的参数方程为（为参数），则圆的普通方程为__________，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆的圆心极坐标为_________．B．（不等式选讲选做题）若的最小值为3,则实数的值是________.C．(几何证明选做题）如图，PA切于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1,OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）规定记号“”表示一种运算，即，记.（1）求函数的表达式

5、；（2）求函数的最小正周期；（3）若函数在处取到最大值，求的值.17.（本小题满分12分）已知函数的图像经过点和，记（1）求数列的通项公式；（2）设，求.18.（本小题满分12分）如图所示的几何体中，平面，∥，，，是的中点．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．19.（本小题满分12分）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球.重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球.求：(1)最多取两次就结束的概率；(2)整个过程中恰好取到2个白球的概率；(3)取球次数的分布列和数学期望.20.

6、（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，设点(1，0)，直线:，点在直线上移动，是线段与轴的交点,.(1)求动点的轨迹的方程；(2)记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线的弦、，设、的中点分别为．求证：直线必过定点．21.（本小题满分14分）设常数，函数.（1）令，求的最小值，并比较的最小值与0的大小；（2）求证：在上是增函数；（3）求证：当时，恒有．参考答案1.D.由已知，有和两种情况：若，那么方程无解，此时；若，则有，故，即．所以由的值所组成的集合为，有2个元素．故子集个数为个．2.C.依题意，得，即，得.3.D.令，显然为奇函数，为偶函数，所以，函数是奇函数，否定A，C;取有，

7、此时否定B，从而，应当选D.4.C.由，∴，∴，解得，∴，∴.5.A.∵该几何体三视图中正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个正三角形,∴它是一个底面边长为4的正三角形的三棱柱,∴.6.C.注意到已知不等式等价与．显然是上的增函数，于是有不等式，从而，得，再结合，便得．故选C.7.D.根据该程序框图输出函数为奇函数，且存在零点，验证只有D成立.8.B．注意到内角和定理，，于是显然，说明角为钝角．9.C.设，则　于是．10.C.由已知得