导数在解决实际问题中的应用

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1、导数在解决实际问题中的应用现实生活中,我们常用到“体积最大”、“用料最少”、“距离最短”、“利润最大”等最优问题，可以用导数来解决。例1、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y（升），关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米．（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升

2、．（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得令得当时，是减函数；当时，是增函数．当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．例2、求抛物线上与点距离最近的点.解：设为抛物线上一点，则.与同时取到极值.令.由得是唯一的驻点.当或时，是的最小值点，此时.即抛物线上与点距离最近的点是（2，2）.例3、烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境.已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现

3、有两座烟囱相距20，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小.解：不失一般性，设烟囱A的烟尘量为1，则烟囱B的烟尘量为8并设AC＝，于是点C的烟尘浓度为，其中为比例系数.令，有，即.解得在（0，20）内惟一驻点.由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，在惟一驻点处，浓度最小，即在AB间距A处处的烟尘浓度最小.例4、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水

4、站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解：设∠BCD＝Q，则BC＝，CD＝40cotθ，（0＜θ＜＝，∴AC＝50－40cotθ设总的水管费用为f（θ），依题意，有f（θ）＝3a（50－40·cotθ）+5a·＝150a+40a·∴f′（θ）＝40a·令f′（θ）＝0，得cosθ＝根据问题的实际意义，当cosθ＝时，函数取得最小值，此时sinθ＝，∴cotθ＝，∴AC＝50－40cotθ＝20（km），即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省.