高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 二 综合法与分析法同步配套教学案 新人教a版选修4-5

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1、二综合法与分析法　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P211．综合法(1)定义：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法．(2)特点：由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(3)证明的框图表示：用P表示已知条件或已有的不等式，用Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为→→→……→2．分析法(1)定义：证明题时，常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种

2、证明方法叫做分析法，这是一种“执果索因”的思考和证明方法．(2)特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．(3)证明过程的框图表示：用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为→→→……→　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P21用综合法证明不等式[例1]　已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求证：·≥9.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。[思路点拨]　可将所证不等式左边展开，运用已知和基本不等式可得证，也可以用x＋y取代“1”，化简左边，然后再用基本

3、不等式．[证明]　法一：∵x>0，y>0，∴1＝x＋y≥2.∴xy≤.∴＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9.当且仅当x＝y＝时等号成立．法二：∵x＋y＝1，x>0，y>0，∴＝＝＝5＋2≥5＋2×2＝9.当且仅当x＝y＝时，等号成立．综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．1．已知a，b，c∈R＋，证明不明式：a＋b＋c≥＋＋，当且仅当a＝b＝c时取等号．证明：因为a>0，b>0，c>0，故有a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号；b＋c≥2，当且仅当b＝c时取等号；c

4、＋a≥2，当且仅当c＝a时取等号．三式分边相加，得a＋b＋c≥＋＋.当且仅当a＝b＝c时取等号．2．已知a，b，c都是实数，求证：非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.证明：∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc.c2＋a2≥2ca将以上三个不等式相加得：2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)①即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.②在不等式①的两边同时加上“a2＋b2＋c2”得：3(a2＋b

5、2＋c2)≥(a＋b＋c)2即a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2.③在不等式②的两端同时加上2(ab＋bc＋ca)得：(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)即(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.④由③④得a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.用分析法证明不等式　　[例2]　已知x>0，y>0，求证(x2＋y2)>(x3＋y3).[思路点拨]　不等式两边是根式，可等价变形后再证明．分析每一步成立的充分条件．[证明]　要证明(x2＋y2)>(x3＋y3)，只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2.即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6.即证3x4y2＋

6、3x2y4>2x3y3.∵x>0，y>0，∴x2y2>0.即证3x2＋3y2>2xy.∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy.∴3x2＋3y2>2xy成立．非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。∴(x2＋y2)>(x3＋y3).(1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．(2)分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆．3．求证：＋<2.证明：分析法：∵＋>0,2>0，∴要证＋<2.∴只需证明：(＋)2<

7、(2)2.展开得：10＋2<20.即证2<10，即证21<25(显然成立)．∴＋<2.4．a，b∈R＋，且2c>a＋b.求证：c－

8、a－c

9、<，两边平方得a2－2ac＋c20，