高中数学 第一章 直线、多边形、圆 1 第二课时 平行线分线段成比例定理学案 北师大版选修4-1

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1、第二课时　平行线分线段成比例定理[对应学生用书P5]1．平行线分线段成比例定理及推论定理内容符号语言平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例如图，若a∥b∥c，则＝推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的对应线段成比例如图，若a∥b∥c，则＝＝2．三角形内角平分线定理定理内容符号语言三角形内角平分线定理三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例如图，AD为∠A的平分线，则＝1．平行线分线段成比例定理的条件是什么？提示：定理的条件应给出一组平行线

2、，至少三条，可以推广到多条但要注意对应成比例．2．线段的比与比例线段有何异同？非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。提示：线段的比是两条线段而言的，而比例线段是对四条线段而言的．线段的比有顺序性，a∶b与b∶a通常是不相等的．比例线段也有顺序性，如线段a，b，c，d成比例，与线段a，c，b，d成比例不同．3．三角形内角平分线定理中能否写成AB·DC＝BD·AC?提示：可以．但要注意其对应成比例

3、不变．[对应学生用书P5]利用定理证明比例式[例1]　如图，AD为△ABC的中线，在AB上取点E，AC上取点F，使AE＝AF，求证：＝.[思路点拨]　本题主要考查利用平行线分线段成比例定理证明比例式．解答此题时，可考虑过C作CM∥EF，补一个平行四边形求解．[精解详析]　如图，过C作CM∥EF，交AB于点M，交AD于点N.∵AE＝AF，∴AM＝AC.∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD.延长AD到G，使得DG＝AD，则四边形ABGC为平行四边形．∴AB＝GC.∵CM∥EF，∴＝＝，∴＝.又AB∥GC，AM＝A

4、C，GC＝AB，∴＝＝.∴＝.1．利用平行线分线段成比例定理证明比例式时，当不能直接证明要证的比例成立时，常把线段的比转化为另两条线段的比．2．当题中没有平行线条件而必须转移比例时，常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的．非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。1．AD为△ABC的中线，过C作任一直线交线段AB及中线AD于F，E.求证：＝.证明：作FK∥AD交BC于点K，则有＝.又＝，＝，CD

5、＝BD，两式相乘，得＝，即＝，∴＝＝＝，∴＝，又＝，∴＝.利用定理证明乘积式[例2]　如图所示，已知直线FD和△ABC的BC边交于D，与AC边交于E，与BA的延长线交于F，且BD＝DC，求证：AE·FB＝EC·FA.[思路点拨]　本题只需证＝即可．由于与没有直接关系，因此必须寻找过渡比将它们联系起来．因此考虑添加平行线构造过渡比．[精解详析]　过A作AG∥BC，交DF于G点，如图所示．∵AG∥BD，∴＝.又∵BD＝DC，∴＝.∵AG∥BD，∴＝.∴＝，即AE·FB＝EC·FA.非常感谢上级领导对我的信任，这次

6、安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。证明乘积式时先转化为比例式，再利用平行线分线段成比例定理证明，必要时添加辅助平行线．2．如图已知，点E是▱ABCD边CD延长线上的一点，连接BE交AC于点O，交AD于点F.求证：OB2＝OE·OF.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AD∥BC.由AB∥CE，得＝.由AF∥BC，得＝.所以＝(等量代换)．即OB2＝OE·OF.定理的应用[例3]　如图所示，∠A＝∠E，＝

7、，BD＝8，求BC的长．[思路点拨]　本题主要考查利用平行线分线段成比例定理求线段长．解此题时，由于BC和BD是对应线段，因此只需得出AC∥DE即可．[精解详析]　∵∠A＝∠E，∴AC∥DE，∴＝，∴＝，∴BC＝4.在列比例式求线段的长时，应尽可能将需求的线段写成比例式的一项，以减少比例变形，减少错误．非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。3.如图，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，EF＝1

8、.5，AB＝2.5，FB＝2，BD＝6，求CD的长．解：由EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，得EF∥AB∥CD.过E作EH⊥CD于H，交AB于G，则EH∥FD，则EF＝GB＝HD，EG＝FB，GH＝BD，AG＝AB－EF＝2.5－1.5＝1，＝＝＝，所以CH＝4，所以CD＝CH＋HD＝4＋1.5＝5.5.本课主要考查平行线分线段成比例定理，难度较低，属中低档题．[考题印证]如图，设D是△ABC的边