第9章 半群和群9[1].3-9.4

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1、第9章半群和群semigroupandgroup§9.3乘积半群和商半群ProductsandQuotiensSemigroup定理1.设（S，*）和（T，*’）是两个半群，则（S×T，*”）也是半群。(s1,t1)*”(s2,t2)=(s1*s2,t1*’t2).设（S，*）和（T，*’）是两个独异点，则（S×T，*”）也是独异点，恒等元是（e，e’）。同余关系congruencerelation设（S，*）是半群，R是S上等价关系。R称为S上同余关系：aRa’,bRb’Þ(a*b)R(a’*b’)

2、.例1.Z上剩余关系是(Z,＋)上同余关系：aºb（mod2）Û2

3、a－b。证明.aºb（mod2）是等价关系。aºb（mod2）,2

4、a-b,a-b=2k.cºd（mod2）,2

5、c-d,c-d=2t.(a+c)－(b+d)=(a-b)+(c-d)=2(k+t)a+cºb+d（mod2）aºb（mod2）是(Z,＋)上同余关系。Z上剩余关系是(Z,×)上同余关系.例2．令A＝{0,1},自由半群（A*,×）上关系R：αRβÛα，β含有同样多个1。则R是（A*,×）上同余关系。例3．设f(x)=x2-

6、x-2,令（Z，＋）上关系R：aRbÛf(a)=f(b).R是Z上等价关系，但不是同余关系。－1R2，f(－1)=f(2)=0－2R3，f(-2)=f(3)=4-1+-2=-3,2+3=5f(-3)=10,f(5)=18-1+-2与2＋3不满足R。定理2.设R是半群（S，*）上同余关系。定义商集S/R上二元运算*：[a]*[b]=[a*b]。则（S/R,*）是半群。证明.设[a]=[a’],[b]=[b’],要证[a*b]=[a’*b’]aRa’,bRb’,由R是同余关系a*bRa’*b’,因此[a*

7、b]=[a’*b’]，*是映射，二元运算。还要证*满足结合律：[a]*([b]*[c])=[a]*[b*c]=[a*(b*c)]=[(a*b)*c]=[a*b]*[c]=([a]*[b])*[c]因此（S/R,*）是半群。称S/R为商半群。推论1.设R是独异点（S，*）上同余关系，则（S/R,*）是独异点。证明.恒等元e∈S,只要证明[e]是S/R,的恒等元。任何a∈S，[a]*[e]=[a*e]=[a][e]*[a]=[e*a]=[a].例5．（Zn,+）,(Zn，×)都是半群，独异点。Zn＝{[0

8、],[1],[2],……,[n-1]}[m]+[n]=[m+n]定理3.令R是半群（S，*）上同余关系,（S/R,*）是商半群。f：S→S/R,f(a)=[a],则f是满同态，称f为自然同态。定理4.同态基本定理设f:（S，*）→（T，*’）是两个半群间的同态映射，令R是S上二元关系：a,b∈S，aRbÛf(a)=f(b).则(a)R是（S，*）上同余关系。(b)(T，*’)@(S/R,*).HomeworkP337-3384,10,14,16,22,24§9.4群Group群的定义群（G，*）是一个

9、代数系统，1)二元运算*满足结合律,2）有单位元e，a*e=e*a=a,3)对每个a∈G，存在a’∈G，a*a’=a’*a=e,称a’为a的逆元。群（G，*）是一个有单位元的独异点，对每个a∈G，存在逆元a’∈G，使a*a’=a’*a=e.群（G，*）常简记为G，a*b常简记为ab。可换群叫Abel群AbelianGroup群的例（Z，＋），（Q，＋），（Q，×），（R，＋），（R，×），（Zn，＋），（P(S),∪），（P(S),∩），（Mn，＋），（F(x),+）,S上全体一一对应，对于复合，最后

10、一个不是Abel群。例（R，*）：a*b=ab/2是Abel群。*满足结合律，交换律，2是单位元，4/a是a的逆元。定理1.群的逆元唯一：设G是群，任意a∈G，a只有一个逆元，记做a-1。证明.设a’，a”都是a的逆，a’=a’aa”=a”.定理2.群有消去律：设G是群，a,b,c∈G,则（a）ab＝acÞb＝c，（b）ba＝caÞb＝c。定理3.逆律设G是群，a,b∈G,则(a)(a-1)-1=a,(b)(ab)-1=b-1a-1.（c）a-n＝(a-1)n定理4.方程有唯一解设G是群，a,b∈G,

11、则(a)方程ax＝b在G中有唯一解。(b)方程ya＝b在G中有唯一解。定理4’.定理4的逆：半群（A,*）方程ax＝b，ya＝b有唯一解，则（A,*）是群。证明.（1）A有单位元（1’）A有右单位元：取a∈A，ax＝a有解为e’，ae’=a。证e’是右单位元。对任意b∈A，be’=b:任意b∈A，xa＝b，有界c，ca＝b，be’=cae’=ca=b.（1”）A有左单位元同理xa＝a的解为e”，e”是左单位元，任b∈A，e”b=b。左右单位元相等e”=e