高中数学 第1章 导数及其应用 1_4 导数在实际生活中的应用优化训练 苏教版选修2-21

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1、1.4导数在实际生活中的应用5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.设底为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为()A.B.C.D.2答案：C解析:设底面边长为x，则表面积S=x2+V(x>0),S′=(x3-4V),令S′=0,得唯一极值点x=.2.在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底长为…()A.B.rC.rD.r答案：D解析:设梯形的上底长为2x,高为h，面积为S.∵h=,∴S=·=(r+x)·.∴令S′===.令S′=0，得x=,h=r

2、,当x∈(0,)时,S′>0;当0)，令S′=8-2x=0，得x=4.此时S最大=42=16m2.答案:1610分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒.当所做的铁盒容积

3、最大时，在四角截去的正方形的边长为()A.6B.8C.10D.12答案：B解析:设截去的小正方形的边长为xcm,铁盒的容积为Vcm3,由题意,得V=x(48-2x)2(0

4、三边需要砌新的墙壁.当砌壁所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为______________.解析:要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短,如下图所示,设场地宽为x米,则长为米,因此新墙总长度L=2x+(x>0),则L′=2-.令L′=0,得x=±16.∵x>0,∴x=16.当x=16时,L极小值=Lmin=64,∴堆料场的长为=32米.答案:32米,16米4.如图所示,水渠横断面为等腰梯形.(1)若渠中流水的横断面积为S,水面的高为h,当水渠侧边的倾斜角Φ为多大时,才能使横断面被水浸湿的周长为最小?(2)若被水浸湿的水

5、渠侧边和水渠底面边长都等于a,当水渠侧边倾斜角Φ多大时,水流的横断面积为最大?解：(1)依题意,侧边BC=h·(sinΦ)-1,设下底AB=x,则上底CD=x+2hcotΦ.又S=(2x+2hcotΦ)h=(x+hcotΦ)h,∴下底x=-hcotΦ.∴横断面被水浸湿周长l=+(-hcotΦ)=(0<Φ<).∴l′Φ=.令l′Φ=0,解得cosΦ=,∴Φ=.根据实际问题的意义,当Φ=时,水渠横断面被水浸湿的周长最小.(2)设水渠高为h,水流横断面积为S,则S=(a+a+2acosΦ)·h=(2a+2acosΦ)·asinΦ

6、=a2(1+cosΦ)·sinΦ(0<Φ<).∴S′=a2［-sin2Φ+(1+cosΦ)cosΦ］=a2(2cosΦ-1)(cosΦ+1).令S′=0,得cosΦ=或cosΦ=-1(舍),故在(0,)内,当Φ=时,水流横断面积最大,最大值为S=a2(1+cos)sin=a2.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.函数f(x)=x3-3x(

7、x

8、<1)()A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,也无最小值D.无最大值,但有最小值答案：C2.以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大

9、值为()A.10B.15C.25D.50答案：C解析:如下图，设∠NOB=θ，则矩形面积S=5sinθ·2·5cosθ=50sinθ·cosθ=25sin2θ.故Smax=25.3.已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值又有极小值,则a的取值范围是______________.解析:f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),则f′(x)=0有两个不等的实根,从而Δ=36a2-36(a+2)>0,解之得a<-1或a>2.答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)4.函数y=sin2x-x,x∈［,］的最大值是_

10、_____________,最小值是______________.答案：-5.将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成圆，一段弯成正方形，问如何截能使正方形与圆面积之和最小,并求出最小面积.解:设弯成圆的一段长为x，另一段长为100-x,设正方形与圆的面积之和为S，则S=π（）2+()2(0＜x＜1