中考数学总复习 题型专项（八）二次函数与几何图形综合题 类型5 探究角度数量关系的存在性问题试题

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1、到乌蒙山区的昭通;从甘肃中部的定西，到内蒙古边陲的阿尔山，看真贫、知真贫，真扶贫、扶真贫，成为“花的精力最多”的事;“扶贫先扶志”“扶贫必扶智”“实施精准扶贫”类型5　探究角度数量关系的存在性问题1．(2015·南宁)在平面直角坐标系中，已知A，B是抛物线y＝ax2(a>0)上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限．(1)如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB＝90°，且AB＝2时，求此抛物线的解析式和A，B两点的横坐标的乘积；(2)如图2所示，在(1)所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A，B两点的横坐标的乘积是

2、否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由；(3)在(2)的条件下，如图3，若直线y＝－2x－2分别交直线AB，y轴于点P，C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标．解：(1)设直线AB与y轴交于点E，∵AB与x轴平行，根据抛物线的对称性有AE＝BE＝1.∵∠AOB＝90°，∴OE＝AB＝1.∴A(－1，1)，B(1，1)．把x＝1，y＝1代入y＝ax2，得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2，A，B两点的横坐标的乘积为xA·xB＝－1.(2)xA·xB＝－1为常数，过点A作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，∴∠AMO＝∠B

3、NO＝90°.∴∠MAO＋∠AOM＝∠AOM＋∠BON＝90°.∴∠MAO＝∠BON.∴△AMO∽△ONB.∴＝，即OM·ON＝AM·BN.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，∵A(xA，yA)，B(xB，yB)在y＝x2图象上，∴yA＝x，yB＝x.∴－xA·xB＝yA·yB＝x·x.∴xA·xB＝－1为常数．(3)设A(m，m2)，B(n，n2)，由(2)可知mn＝－1.设直线AB的解析式为y＝kx＋b，联立得x2－kx－b＝0.∵m，n是方程的两个根，∴mn＝－b.∴b＝1.∵直线AB与y轴交于点D，则OD＝1.易知C(0，－2)，OC＝2，∴

4、CD＝OC＋OD＝3.∵∠BPC＝∠OCP，∴PD＝CD＝3.设P(a，－2a－2)，过点P作PG⊥y轴于点G，则PG＝－a，GD＝OG－OD＝－2a－3.在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG2＋GD2＝PD2，即(－a)2＋(－2a－3)2＝32，整理得5a2＋12a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－.当a＝－时，－2a－2＝，新的贫困人口还会出现，因灾、因病、因学返贫情况还会时有发生;五是经济下行压力较大，贫困人口就业和增收难度增大，一些农民因丧失工作重新陷入贫困到乌蒙山区的昭通;从甘肃中部的定西，到内蒙古边陲的阿尔山，看真贫、知真贫，真扶贫、扶真贫

5、，成为“花的精力最多”的事;“扶贫先扶志”“扶贫必扶智”“实施精准扶贫”∴P(－，)．2．(2016·河南)如图1，直线y＝－x＋n交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)．抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，交y轴于点B(0，－2)．点P为抛物线上一个动点，经过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；(3)如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．

6、解：(1)由直线y＝－x＋n过点C(0，4)，得n＝4，∴y＝－x＋4.当y＝0时，0＝－x＋4，解得x＝3，∴A(3，0)．∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(0，－2)．∴∴∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2.(2)∵点P的横坐标为m，∴P(m，m2－m－2)，D(m，－2)．若△BDP为等腰直角三角形，则PD＝BD.①当点P在直线BD上方时，PD＝m2－m.(ⅰ)若点P在y轴左侧，则m<0，BD＝－m.∴m2－m＝－m，∴m1＝0(舍去)，m2＝(舍去)．(ⅱ)若点P在y轴右侧，则m>0，BD＝m.∴m2－m＝m，∴m3＝0(舍去)

7、，m4＝.②当点P在直线BD下方时，m>0，BD＝m，PD＝－m2＋m.∴－m2＋m＝m，∴m5＝0(舍去)，m6＝.新的贫困人口还会出现，因灾、因病、因学返贫情况还会时有发生;五是经济下行压力较大，贫困人口就业和增收难度增大，一些农民因丧失工作重新陷入贫困到乌蒙山区的昭通;从甘肃中部的定西，到内蒙古边陲的阿尔山，看真贫、知真贫，真扶贫、扶真贫，成为“花的精力最多”的事;“扶贫先扶志”“扶贫必扶智”“实施精准扶贫”综上，m＝或.即当△BDP为等腰直角三角形时，PD的长为或.(3)P1(－，)，P2(，)，P3(，)．【提示】∵∠PBP′＝∠OAC，OA

8、＝3，OC＝4，∴AC＝5，∴sin∠PBP′＝，cos∠PBP′＝.①当点P′落在x轴上时，