谈空间解析几何中的“距离”

《谈空间解析几何中的“距离”》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、谈空间解析几何中的“距离”　　[摘要]本文分类给出了空间中的点到直线间的距离、点到平面间的距离及异面直线间的距离等空间距离的多种计算方法。　　[关键字]高等数学点直线平面距离　　在学习高等数学中的空间解析几何部分时，经常会碰到要计算“距离”，比如求点到直线的距离，点到平面的距离，求异面直线间的距离等等.尤其是异面直线距离的求解是一个难点，困难在于如何求两异面直线间的公垂线.从不同的角度分析问题，往往便会得到不同的解法.本文综合向量积、数量积、点线面的关系及函数最值的求法，分类讨论空间中的“距离”，并给出了多种求解方法，从而能够活跃学生的数学思维，有效地开发学员的创造灵感.　

2、　一、点点距离　　已知空间中两点P0（x0，yo，zo）和P1（x1，y1，z1）则P0与P1之间的距离为　　二、点线距离　　求空间一点P0（x0，yo，zo）到直线的距离.　　（1）公式法　　（2）向量积法设直线L的方向向量为，再取L上的一个点P1（x1，y1，z1），则由向量积的几何意义，可知　　【注】其实将，P1及P0代入上式，便得到公式法中的计算公式.6　　（3）垂足法求出P0在直线上的垂足P点的坐标，那么

3、P0P

4、就是P0到直线的距离.　　（4）（一元函数）最值法求出P0与直线L上任一点的距离的最小值.　　（5）平面束法[1]求点P0到过直线L的平面束的距离的最大

5、值.　　例1求点M（4，1，-6）到直线的距离.　　解法1（垂足法）设M在直线L上的投影点坐标M0（x0，yo，zo）则　　（1）　　因为MM0垂直直线L，而=（2，3，-1）　　MM0=（x0-4，y0-1，z0+6）故　　2（x0-4）+3（y0-1，z0+6）（2）　　联立（1）和（2），可得　　x0=3，y0=3，z0=-2　　因此，点M在直线L上的投影点为M0（3，3-2）于是，点M到直线L的距离　　解法2（最值法）取直线L上的任意一点B（2t+1，3t，-t-1），则　　设f（t）=14t2-28t+35，令f`（t）=0得t=1由题意可知有最小值f（1）=21

6、因此点M到直线L的距离　　解法3（平面束法）将直线L的方程改写为，则过直线L的平面束为　　3x-2y-3+λ（y+3z+3）=0，　　即3x+（λ-2）y+3λz+3（λ-1）=0　　则点M到上述平面束的距离为　　欲求d（λ）的最小值，只需求出d2（λ6）的最大值.利用一元函数求极值的方法，令[d2（λ）]`得λ=-4及（舍去，因为此时d（λ）=0，所对应的平面是过直线L且过点M的平面，其与λ=-4所对应的平面垂直），此时又因为平面束中缺少平面y+3z+3=0而点M到平面y+3z+3=0的距离比较可知最大.因此，点M到平面L的距离为　　【注】这里用到了点到平面的距离公式，在

7、实际解题时，可将直线、平面结合起来，使得问题更容易解决.　　三、点面距离　　求空间一点P0（x0，y0，z0）到平面π：Ax+By+Cz+D=0的距离.　　（1）公式法　　【注】通常直接套公式法最简单.　　（2）垂足法求出P0在平面上的垂足P点的坐标，那么

8、P0P

9、就是P0到平面的距离.　　（3）条件极值法求出P0在平面上任一点的距离的最小值.　　例2求M（5，0，-3）到平面π：x+y-2z+1=0的距离.　　解（条件极值法）任取A（x，y，z）∈π则x+y-2z+1=0于是，点M到平面π的距离d满足　　设F（x，y，z，λ）=（x-5）2+y2+（z+3）3+λ（x+y

10、-2z+1）　　令　　解得x=3，y=-2，z=1.由题意知此时d2有最小值d2min=24.因此，M到平面π的距离为　　四、线线距离　　（一）异面直线间的距离6　　求异面直线与之间的距离.　　（1）公式法　　（2）混合积法设L1，L2的方向向量分别为取A∈L1，B∈πL2，构造以为三条棱的平行六面体，则该平行六面体的体积是，其一底面积是.L1与L2之间的距离为该平行六面体以两直线的方向向量为底　　面所对应的高，所求的距离　　（3）投影法L1，L2的公垂线的方向向量可以取　　所求的距离就是上的投影，即　　注：混合积法与投影法其实公式是相同的，只是从不同的角度分析距离而已，公

11、式法可直接由混合积法或投影法推出.　　（4）垂足法求出公垂线在L1，L2上的垂足，计算两垂足之间的距离.　　（5）（二元函数）最值法求L1上任意一点与L2上任一点之间的距离的最小值.　　（6）线面平行法求L1与过L2且与L1平行的平面之间的距离.　　（7）面面平行法求过L1且与公垂线垂直的平面与过L2且与公垂线垂直的平面之间的距离.　　例3求异面直线与的距离.　　解法1（垂足法）L1，L2的方向向量分别为　　设公垂线与L1的交点为P（1，-t1，-t1）与L2的交点为Q（6t2，-3t2，-2）因为所以　　解法2（