微积分中求极限的常用方法分析

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1、微积分中求极限的常用方法分析　　【摘要】极限在微积分理论是一个非常重要的概念，是贯穿着微积分理论的一条主导线索，极限的计算基础应当作为学习微积分的重要前提，对微积分理论中一元函数极限的常见计算方法进行相关的归纳总结，主要目的在于提升微积分理论课程的教学质量水平与学习方法。　　【关键词】微积分极限常用方法　　【中图分类号】O172【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2013）11-0150-02　　1.引言　　微积分属于研究变量形式的一门学科，极限作为微积分理论中的一个重要概念，其理论体系的确定使微积分具备了充分的逻辑思想基础，促使微积分理论在日常科学领域中能够得到更为广泛的应

2、用与发展，因此计算极限成为微积分理论的重点内容。求取极限是掌握微积分理论的重要前提，熟练运用求取极限的各种方法，可以有效地提升微积分理论课程的学习效果。求取极限的方法是有许多的，各种求解方法都是因题而异，可以灵活变通使用[1]。　　2.微积分中求极限的常用方法　　⑴利用极限定义求极限　　例题1：求证■ex=0　　证明：

3、f（x）-A

4、=

5、ex-0

6、=ex4　　所以？坌ε（0<ε<1），若要使

7、f（x）-A

8、<ε，只需要保证ex<ε或者x

9、，根据指数函数的相应图像可知其极限值是趋向于正无穷大。　　⑵利用极限运算法则　　①无穷小运算法则　　无穷小量属于一种具体的极限定义。在相应极限计算的过程当中，可以灵活地运用无穷小量的有关性质，无穷小和无穷大的相互关系，与无穷小量有关的等价变换的极限计算方法从而达到事半功倍的求取效果。然而无穷小的等价变换在极限求取过程中是最容易出现错误的方法。这种方法的主要难点在于无法弄明白替换的原理与对象，同时对无穷小相应的等价概念含糊不清，因此需要注意等价变换是存在着极限条件的[2]。　　例题2：求证■■?cosx　　证明：由于■■=0，

10、cosx

11、≤1　　因此，根据无穷小量的性质，有界变量和无穷小量

12、的乘积仍然是无穷小量，　　所以■■?cosx=0。　　②极限四则运算法则4　　使用极限四则运算法则的基本条件是充分非必要的。所以在使用极限四则运算法则求取极限过程时，需要逐个对所给出的函数进行有效的验证。观察其能否符合极限四则运算法则的使用条件，如果可以符合只需要将x0代替函数中的x就可以完成了；如果不能够满足条件的则无法对其直接使用。比如对于分式函数直接进行代入处理之后假如分母是零，则代入不能体现出实际意义，需要对函数进行合适有效的因式分解、通分、分子分母有理化、分子分母同除最高次幂与三角函数等各种恒等变换处理方法，令其满足使用条件之后，再使用极限四则运算法则。　　推论：在分式函数的极

13、限计算过程中，■■，如果有g（x0）≠0，■■=■；如果有g（x0）=0且f（x0）≠0，则极限是无穷大；如果有g（x0）=0、f（x0）=0，可以消去零因子x-x0。　　⑶两个重要极限　　⑷洛必达法则　　洛必达法则属于一种非常有效可行的极限计算方法，其能够求出■、■等类型的未定式，而0?∞、1∞、∞0、∞-∞、00等类型的未定式可以进行代数恒等变化或者取对数等方法转化成为■、■类型的未定式。　　即使洛必达法则是非常有效的极限计算方法，然而并非是万能的求极限方法。　　在运用洛必达法则求极限时需要注意以下几点：　　①lim■应当为■或者■类型的未定式。　　②若lim■不存在，则无法判断li

14、m■不存在，只可以使用其它方法来求取极限。　　③4在极限计算过程中需要及时地简化极限后部分的分式与检查能否满足要求的未定式，如果不能满足则不能使用洛必达法则，否则会出现得到结果[3]。　　④若lim■存在时，应当分别对式子的分子分母求导再求极限。　　3.结束语　　对于极限的求取方法，除了上文所提到的各种常用方法之外还存在其它的计算方法。比如使用数列的前n项和公式、夹逼定理、拆项或者添项、定积分的定义概念、使用收敛级数求取极限、使用泰勒展式求取极限、使用左右极限和极限关系求取分段函数在分段点处相应的极限等各种具体方法。函数极限一般都会涉及到各个方面的理论知识，在求取极限的过程中需要进行全面

15、的考虑，首先需要分析已给出的函数极限的具体类型，再根据具体的有效条件考虑需要使用的求解方法。各种形式的极限计算方法可以灵活变通使用，固定一种方法不一定能够得到各种极限的求取结果，有时需要考虑对各种极限方法进行综合应用。　　参考文献：　　[1]韩汉鹏，马少军，徐光辉.大学数学微积分[M].北京：高等教育出版社，2010.　　[2]田军辉.浅谈高等数学中几种常用的求极限的方法[J].科技信息，2009.　　[3]同济大学数学教研室.高等