高中数学 课时跟踪检测（八）生活中的优化问题举例 新人教a版选修

《高中数学 课时跟踪检测（八）生活中的优化问题举例 新人教a版选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、课时跟踪检测(八)　生活中的优化问题举例一、选择题1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s＝t3－2t2，那么速度为0的时刻是(　　)A．1秒末　　　　　　　B．0秒C．2秒末D．0秒或1秒末解析：选D　由题意可得t≥0，且s′＝4t2－4t，令s′＝0，解得t1＝0，t2＝1，故选D.2．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为(　　)A．2和6B．4和4C．3和5D．以上都不对解析：选B　设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x

2、2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x＜4时，y′＜0；当4＜x≤8时，y′＞0.所以当x＝4时，y最小．3．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为(　　)A.和RB.R和RC.R和RD．以上都不对解析：选B　设矩形的宽为x，则长为2，则l＝2x＋4(0＜x＜R)，l′＝2－.令l′＝0，解得x1＝R，x2＝－R(舍去)．当0＜x＜R时，l′＞0；当R＜x＜R时，l′＜0，所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R.4．某商

3、场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8300－170p－p2.则最大毛利润(毛利润＝销售收入－进货支出)为(　　)A．30元B．60元C．28000元D．23000元解析：选D　设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)，此

4、时L(30)＝23000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．5．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为(　　)A．32米，16米B．30米，15米C．40米，20米D．36米，18米解析：选A　设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米，其他两边的边长均为y米，则x

5、y＝512，则所用材料l＝x＋2y＝2y＋(y＞0)，求导数，得l′＝2－.令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．当0＜y＜16时，l′＜0；当y＞16时，l′＞0.所以y＝16是函数l＝2y＋(y＞0)的极小值点，也是最小值点．此时，x＝＝32.所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省．二、填空题6．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．解析：设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x＞0)，所以y′＝2.令y′＝0，解得x＝200(x＝－200

6、舍去)，这时y＝800.当0＜x＜200时，y′＜0；当x＞200时，y′＞0.所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米．答案：8007．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为________cm.解析：设该漏斗的高为xcm，体积为Vcm3，则底面半径为cm，V＝πx(202－x2)＝π(400x－x3)(0＜x＜20)，则V′＝π(400－3x2)．令V′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0.所以当x＝时，V取得最大值．答

7、案：8．如下图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD＝x，则点C的坐标为，点B的坐标为，∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·＝－＋x，x∈(0,2)．由f′(x)＝－x2＋1＝0，得x1＝－(舍去)，x2＝，∴x∈时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，x∈时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，当x＝时，f(x)取最大值.答案：三、解答题9．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为1

8、3万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，年销售量y关于x的函数式为y＝3240，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？[年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量]解：由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)