浙江专版2018年高中数学课时跟踪检测八生活中的优化问题举例新人教A版选修

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1、课时跟踪检测(八)生活中的优化问题举例层级一 学业水平达标1.福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时时,原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(  )A.8           B.C.-1D.-8解析:选C 瞬时变化率即为f′(x)=x2-2x为二次函数,且f′(x)=(x-1)2-1,又x∈[0,5],故x=1时,f′(x)min=-1.2.把一段长为12cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角

2、形面积之和的最小值是(  )A.cm2B.4cm2C.3cm2D.2cm2解析:选D 设一段为x,则另一段为12-x(0<x<12),则S(x)=×2×+×2×=,∴S′(x)=.令S′(x)=0,得x=6,当x∈(0,6)时,S′(x)<0,当x∈(6,12)时,S′(x)>0,∴当x=6时,S(x)最小.∴S==2(cm2).3.某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系是R(x)=则总利润最大时,每年生产的产品是(  )A.100B.1

3、50C.200D.300解析:选D 由题意,总成本为:C=20000+100x,所以总利润为P=R-C=P′=令P′=0,当0≤x≤400时,得x=300;当x>400时,P′<0恒成立,易知当x=300时,总利润最大.4.设正三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为(  )8A.B.2C.D.V解析:选C 设底面边长为x,则高为h=,∴S表=3××x+2×x2=+x2,∴S表′=-+x,令S表′=0,得x=.经检验知,当x=时,S表取得最小值.5.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(  )A

4、.RB.2RC.RD.R解析:选C 设圆锥高为h,底面半径为r,则R2=(h-R)2+r2,∴r2=2Rh-h2,∴V=πr2h=h(2Rh-h2)=πRh2-h3,V′=πRh-πh2.令V′=0得h=R.当00;当

5、设甲地销售x辆,则乙地销售(15-x)辆.总利润L=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30(x≥0).令L′=-0.3x+3.06=0,得x=10.2.∴当x=10时,L有最大值45.6.答案:45.67.如图,内接于抛物线y=1-x2的矩形ABCD,其中A,B在抛物线上运动,C,D在x轴上运动,则此矩形的面积的最大值是________.解析:设CD=x,则点C坐标为,点B坐标为,∴矩形ABCD的面积S=f(x)=x·8=-+x,x∈(0,2).由f′(x)=-x2+1=

6、0,得x1=-(舍),x2=,∴x∈时,f′(x)>0,f(x)是递增的,x∈时,f′(x)<0,f(x)是递减的,当x=时,f(x)取最大值.答案:8.某厂生产某种产品x件的总成本:C(x)=1200+x3,又产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时,产量应定为__________件.解析:设产品单价为a元,又产品单价的平方与产品件数x成反比,即a2x=k,由题知a=.总利润y=500-x3-1200(x>0),y′=-x2,由y′=0,得x=25,x∈(0,2

7、5)时,y′>0,x∈(25,+∞)时,y′<0,所以x=25时,y取最大值.答案:259.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达

8、到最小,并求最小值.8解:(1)设隔热层厚度为xcm,由题设,每年能源消耗费用为C(x)=,再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=.而建造费用为C1(x)=6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×+6x=+6x(0≤x≤10).(2)f′(x)=6-,令f′(x)=0,即=6,解得x=5,x=-(舍去).当0

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