浙江专版2018年高中数学课时跟踪检测八生活中的优化问题举例新人教A版选修

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1、课时跟踪检测（八）生活中的优化问题举例层级一　学业水平达标1．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)A．8　　　　　　　　　　　B.C．－1D．－8解析：选C　瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.2．把一段长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角

2、形面积之和的最小值是(　　)A.cm2B．4cm2C．3cm2D．2cm2解析：选D　设一段为x，则另一段为12－x(0＜x＜12)，则S(x)＝×2×＋×2×＝，∴S′(x)＝.令S′(x)＝0，得x＝6，当x∈(0,6)时，S′(x)＜0，当x∈(6,12)时，S′(x)＞0，∴当x＝6时，S(x)最小．∴S＝＝2(cm2)．3．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是(　　)A．100B．1

3、50C．200D．300解析：选D　由题意，总成本为：C＝20000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝P′＝令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．4．设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(　　)8A.B．2C.D.V解析：选C　设底面边长为x，则高为h＝，∴S表＝3××x＋2×x2＝＋x2，∴S表′＝－＋x，令S表′＝0，得x＝.经检验知，当x＝时，S表取得最小值．5．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(　　)A

4、．RB．2RC.RD.R解析：选C　设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R.当00；当

5、设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．总利润L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.∴当x＝10时，L有最大值45.6.答案：45.67．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD＝x，则点C坐标为，点B坐标为，∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·8＝－＋x，x∈(0,2)．由f′(x)＝－x2＋1＝

6、0，得x1＝－(舍)，x2＝，∴x∈时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，x∈时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，当x＝时，f(x)取最大值.答案：8．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件．解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝.总利润y＝500－x3－1200(x>0)，y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,2

7、5)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．答案：259．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达

8、到最小，并求最小值．8解：(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6，解得x＝5，x＝－(舍去)．当0