转化思维在数学解题中的应用

《转化思维在数学解题中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、转化思维在数学解题中的应用　　【摘要】转化思维是被广泛使用着的一种用来研究数学问题，解决数学问题的重要方法，是数学问题解决的基本思想方法之一。数学都离不开转化，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，都是转化思想的具体体现。本文通过具体例子介绍转化思想的几种基本类型在数学解题中的体现与应用。　　【关键词】数学思想方法转化原则转化方法　　1引言　　著名数学家玻利亚说：“解决数学问题的关键在于转化。”人们在学习数学、解决问题的过程中

2、常常会遇到一些比较复杂的、陌生的或非标准的问题，这些问题往往不易直接得到它的解答，因而采用“迂回的战术”――即对于复杂的、陌生的或非标准的问题，通过变形促使问题不断转化，最后，将它转化为较为简单的、熟悉的或标准的，已经解决的问题或容易解决的问题，转化思维就是我们数学问题的解决过程中的一种最基本的数学思维方式。在中学数学中运用转化思想分析和解决问题的范例几乎处处可见。比如在解不等式时，通常都是将“不等式”转化为“函数、方程”，“正面”转化为“反面”，“一般”转化为“特殊”，通过数形结合在解析几何中将几何问题转化为代数

3、问题等。　　2转化思维的含义6　　所谓的转化思维，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。　　3几种常见的转化思维形式的应用　　3.1抓住数与式的辩证关系，实现数与式的转化。　　例：若（■+■x）30=a0+a1x+a2x2+…+a30x30，则（a0+a2+a4+…+a30）2-（a1+a3+a5+…+a29）2的值。　　分析：如果用常规的

4、解题办法，本题展开式中的各项含有无理数，使运算量增加了难度。但所求的与x没有关系，x取值不影响计算的结果，不妨把x转化为常数，使问题简单化。　　解：∵所给的式中x∈R，∴可令x=1，得a0+a1+a2+…+a30=（■+■）30，又可令x=-1，得a0-a1+a2-a3+…+a30=（■-■）30，则（a0+a2+a4+…+a30）2-（a1+a3+a5+…+a29）2=（a0+a2+a4+…a30+a1+a3+a5+…+a29）×（a0+a2+a4+…+a30-a1-a3-a5-…-a29）=（■+■）30×（■

5、-■）30=1　　数是最特殊、最简单的式，式是满足一定条件的数的集合。对于某些有关一般值都成立的问题，用特殊值探路，数式的互相转化，有利于问题的解决。　　3.2运用函数思想，实现方程、不等式、函数之间的相互转化。　　例：已知方程2cos2x-4cosx-3+2a=0有解，求a的取值范围。6　　分析：这是一个讨论含参数的三角函数有解的问题，求参数的取值范围，用常规的解题办法，求解过程繁琐，如果能把方程变成三角函数求最值的问题，就能使问题化难为简。　　解：将方程转化为a=2cosx-cos2x+■，即a=-cos2x+

6、2cosx+■=-2（cosx-■）2+3，又因为cosx∈[-1，1]，所以-2（cosx-■）2+3∈[-■，3]，即a的取值范围是[-■，3]。　　方程、不等式、函数三者从表面上看是互不相同的，但在函数思想下又是紧密联系在一起的。解有关问题时，如能抓住这种内在联系，相互转化，便可立即突破。　　3.3运用逆向思维，实现正反相互转化。　　例：若三个方程：x2+4kx-4k+3=0，x2+（k-1）x+k2=0，x2+2kx-2k=0，至少有一个方程有实数解，试求k的取值范围。　　分析：从正面考虑需要分类讨论，分类

7、情况复杂，计算量大，容易出错。但从反面思考，先求出三个方程全无实根时k的范围，则至少一个实根的充要条件即为全无实根，求k的范围的补集。　　解：三个方程全无实根的条件为（4k）2-4（-4k+3）<0；（k-1）2-4k2<0；4k2-4（-2k）<0；同时成立的解集为：k∈（-■，-1），则k的补集为（-∞，-■]∪[-1，+∞），即原题的k∈（-∞，-■]∪[-1，+∞）。　　在数学问题中时常会遇到像这样的有关于“至多”、“至少”的问题，如果从正面入手，求解难度大，考虑的方面不全，甚至无从下手。如果从反面思考，便

8、容易解决了。　　3.4借助数与形之间的关系，实现代数与几何之间相互转化。　　例：已知x、y∈R，满足x2+y2-4x-2y+1=0，求x+2y的最值。6　　分析：如果用代数的办法，很难从方程中将x、y的范围找出来，求x+2y的最值就比较困难，但把这个代数问题转化为几何问题，即可直观的解出。　　解：原方程变形为（x-2）2+（y-1）2=4，令m=x+2y，即