求一元函数极限的若干方法

《求一元函数极限的若干方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、绪论极限研究的是函数的变化趋势,在自变量的某个变化过程中,对应的函数值能无限接近某个确定的数，那这个数就是函数的极限.函数的极限概念在高等数学中是一个很重要的概念.极限概念是微分概念的基础,因此加深理解函数极限的概念是十分必要的.在近代数学许多分支中,一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化.只有深刻地理解极限概念并熟练掌握求极限的方法,才能真正地学好微积分.极限是初等数学和高等数学接壤部分,极限概念是高等数学最基本的概念.导数,微分,积分都是建立在极限概念的基础上的,高等数学就是以极

2、限方法为主要工具来研究变量与变量之间关系的科学.在有了极限的定义之后，为了判断具体某一函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨.在经过了许多数学家的不断努力之后，法国数学家柯西获得了完善的结果，即柯西收敛原理.到了近代，在数学家们的努力下给了极限一个专业的定义.有了极限的定义自然就有了许多求极限的方法.求函数极限的方法有很多，其中有利用定义求函数极限、利用夹逼定理求函数极限、利用函数的连续性求极限、利用极限的四则运算、利用变量替换、利用等价无穷小替换、利用定积分、利用导数定义、

3、利用泰勒公式、利用罗必达法则求极限等一些方法，对不是同一类型的函数求极限的方法不一样，有的可以用同一种方法求解，有的不可以，因此研究函数求极限的方法显得尤为重要.27第一章函数极限的概念1.1函数极限的概念1.1.1时函数的极限设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量趋于+时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数.例如，对于函数=，从图象上可见，当无限增大时，函数值无限地接近于；而对于函数，则当趋于时函数值无限地接近于.我们称这两个函数当趋于时有极限.一般地，当趋于时函数极限的精确定义如下：定义1

4、设为定义在上的函数，为定数.若对任何给的使得当时有,则称函数当趋于时以A为极限，记作或定义2设为定义在上的函数，为定数.若对任何给的使得当时有，则称函数当趋于时以A为极限，记作或定义3设函数当时有定义，如果存在常数,则称常数为函数当时的极限，记作27若为定义在上的函数，则.定理1.1.1.2时函数的极限设为定义在的某个空心邻域内的函数.现在讨论当趋于时，对应的函数值能否趋于某个定数.这类函数极限的精确定义如下：定义4（函数极限的定义）设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数.若对任给的，存在正数，使得当时

5、有，则称函数当趋于时以为极限，记作或.注：1.是可以任意给的，在确定的过程中又看成是个定数；2.与有关，但与无关，并且不唯一；3.极限是否存在，与在点是否有定义以及的值为多少无关；4.的前提：在某内有定义.定义5设函数在内有定义，为定数.若对任给的，存在正数，使得当时有，则称为函数当时的右（左）极限，记作27或.右极限与左极限统称为单侧极限.在点的右极限与左极限又分别记为：极限存在的充要条件：关于函数极限与相应的左、右极限之间的关系，有下述定理：定理2.第二章函数极限的求解方法272.1利用函数极限的定义

6、求极限例1证明分析:利用函数极限的定义来证明,首先要任取；其次是写出不等式；再次是解不等式能否得出去心邻域，若能；最后是则对任给的，总能找出，当时，成立，因此有.证：由对任给，取，则当时，就有由函数极限的定义得：.例2证明.分析：根据前面所学的函数极限的定义证明，要证明这道题就要找出的值.证：任给0,取=,则当时有所以例3证明：1）；2）分析：要验证这道题不仅要找到的值，还要利用函数的左、右极限的定义.证：任给0,由于27而此不等式的左半部分对任何都成立，所以只要考察其右半部分的变化范围.为此，先限制则有

7、.故对任给的正数，只须，则当时便有1）式成立.这就证明了1）.类似地可证2）.注：（为定义在上的函数）所以当时不存在极限.例4证明.分析：为了证明，关键问题在于证明能任意小.为此，一般来说应尽可能将的表达式简化.值得注意的是，有时不能简化，反倒是可以把变复杂，写成与相类似的形式.证：因==先设，即，则进一步设，即，于是27故，取，则时有这就证明了.例5讨论函数在定义区间端点1处的单侧极限.分析：这道题它要求的是函数在定义区间端点1处的单侧极限，所以要用单侧极限的定义进行求解.解：由于，故有任给，当时，就是

8、（1.1）于是取，则当，即时，（1.1）式成立.这就推出.类似地可得.小结:利用极限定义求函数极限是熟悉和掌握求极限方法的基础.2.2利用函数极限的性质求极限定理3（1）若在处连续，则（2）若是复合函数，又且在处连续，则.例61）求的极限；2）求的极限.分析：利用函数极限的性质及定理3，并且要看清该函数是否连续，最后在进行计算.27解：1）由，令，则，且在处连续，所以由定理3（2）知：==.2）由于属于初等函数的定义域内.故由