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1、实用标准文案一元函数求极限的若干方法（陕西师范大学数学系，陕西）摘要：极限是数学分析中最基本的，也是最重要的概念之一，是研究微积分学的重要工具.因此掌握好极限的思想与方法是学好微积分的前提条件，针对这种情况，本文探讨了一些常用的求极限的方法关键词：极限；方法大家知道，极限是数学分析中最基本、也是最重要的概念之一，数学分析中许多深层次的理论及应用都是极限的拓展和延伸，如：连续、导数、微积分等都是由极限定义的，而离开了极限思想的数学分析就失去了其基础与价值，因此极限运算在数学分析中占有举足轻重的地位.由
2、于极限定义的高度抽象使我们很难用极限本身的定义去求极限，而对极限的求法可谓是多种多样，针对这种情况，通过归纳和总结，罗列出一些常用的求法.1利用极限的定义求极限极限是指无穷的趋于一个固定的数值，数学分析中的极限包括：数列极限和函数极限.1.1数列极限的定义设是一个数列,是定数,如果对任意给定的,总存在正整数，使得当时有,我们就称定数是数列的极限.记为或.例1按定义证明，这里是常数.证由于，故对任给的,只要取，则当时，便有即.文档实用标准文案这就证明了.例2证明分析由于（1）因此，对任给的，只要，便有
3、（2）即当时，（2）式成立．又由于（1）式是在的条件下成立的，故应取（3）证任给，取据分析，当n>N时有（2）式成立．于是本题得证．注本例在求N的过程中，（1）式中运用了适当放大的方法，这样求N就比较方便．但应注意这种放大必须“适当”，以根据给定的能确定出N．又（3）式给出的N不一定是正整数．一般地，在定义1中N不一定限于正整数，而只要它是正数即可．1.2函数极限的定义函数极限的定义包括两个，一个是趋于时函数的极限，另一个是趋于时函数的极限.1.2.1趋于时函数的极限设为定义在上的函数,为定数.若对
4、任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记为或.文档实用标准文案1.2.2趋于时函数的极限设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数.若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记为或.例3证明.证任给,取,则当时有,所以.例4设,证明.证由于当时,,故对给定的,只要取,根据题意当时有.这就证明了.注用极限的定义时，只需证明存在,故求解的关键在于不等式的建立，在建立过程中往往采用放大或缩小等技巧．但是不能把含有的因子移到不等式的另一边再放大，而是直接应该对要证其极限的式
5、子一步步放大，有时还需要加入一些限制条件．限制条件必须和所求的一致，最后结合在一起考虑．2利用极限的四则运算法则求极限对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限的四则运算法则.法则本身很简单，但为了能够使用法则，往往需要先对函数做一些必要的恒等变形或化简，那么采用怎样的变形和化简要根据具体的算式决定，常用的方法有：分式的约分或通分，分式的分解，分子或分母的有理化，三角函数的恒等变形，某些求和或求积公式的恰当变量替换等等.文档实用标准文案2.1直接运用函数极限的四则运算法则求极限直接运用函数极限
6、的四则运算法则求极限时，前提必须是式子中的每个函数都有极限且分母的极限不等于0.定理若极限都存在，则函数例5求极限：.解.例6(这种解法是错误的，因为不存在，因此不能写成.)2.2间接运用函数极限的四则运算法则求极限.间接利用该法则求极限，即分母的极限等于零或分子、分母的极限为时则不能运用该法则.此时可采用下列方法求解.2.2.1消零因子法对于有理分式可将分子、分母分解因式，消去公因式后再求解.例7求极限.解.2.2.2无穷大分除法当时，分子分母的极限为无穷大，可用分母的最高次幂去除分子分母再取极限
7、.例8解根据题意文档实用标准文案此类型的题可总结为以后直接利用该公式即可.3利用柯西准则求极限定理设函数在内有定义.存在的充要条件是对于任意的，存在正数，使得对于任何有下面证明不存在。证明取，对任何，设正整数，令，，则，从而.由柯西准则可知不存在。4利用两个重要极限求极限.只要符合上述两个重要极限的形式的函数极限都可以尝试使用此方法.例9例10求极限.【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑出文档实用标准文案，最后凑指数部分.解.5利用无穷小的性质求极限注1两个（相同类型的）无穷小量
8、之和﹑差﹑积仍为无穷小量．2无穷小量与有界量的乘积为无穷小量．例11①②(这两个极限一定要区分开).6利用等价无穷小量代换求极限若，例12求极限解由于注在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代。5利用夹逼准则求极限夹逼准则若且,则：.当极限不易直接求出时,可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小,使放大与缩小所得的新变量易于求极限,且二者的极限值相同,则原极限存在,且等
