分类讨论的“源”与“流”

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1、分类讨论的“源”与“流”　　分类讨论是中学阶段的重要数学思想，在解决数学问题的过程中有着重要的作用.什么时候　　探访分类讨论之“源”　　先来看下面三个问题.　　①若一个实数的3倍是4，试求这个实数，只需解关于x的方程3x=4.　　②若一个实数的倍是，试求这个实数，只需解关于x的方程x=.　　③若一个实数的倍是6，试求这个实数，只需解关于x的方程x=6.　　以上问题求解十分简单，除未知数x外，其余涉及的都是具体数字.如果用字母a，b来表示，将问题一般化，则有：　　例1若一个实数的a倍是b，试求出这个实数，其中a∈R且b∈R.　　同样地，解方

2、程ax=b即可得解.　　但是，a，b拥有了更大的取值空间，也遇到了一个意外――a可以为0.在a=0的情况下，x=不成立.此时“ax=b”变成了“0×x=b”，方程是否无解呢？不一定，这还取决于b的值.当b=0时，x取任意实数均满足方程；当b≠0时，无论x取哪个实数均不满足方程.因此，我们必须对例1中的a，b进行分类讨论.　　解析：当a≠0时，x=.　　当a=0时，①若b=0，则x为任意实数；②若b≠0，则方程无解.5　　由此看来，分类讨论是数学问题一般化之后的结果，这也就是我们探访的分类讨论之“源”.　　分类讨论的另一个“源”，是某些数学

3、概念中本身包含了分类.例如要去掉x中的绝对值符号，应对x进行分类讨论：x=x，x>0；0，x=0；-x，x<0.　　例2解不等式2x-4<3x+1.　　解析：①当2x-4>0即x>2时，原不等式可化为2x-4-5，可得x>2；　　②当2x-4=0即x=2时，原不等式可化为0<7，可得x=2；　　③当2x-4<0即x<2时，原不等式可化为4-2x，可得

4、论的流程不同，所获得的各个阶段性结果的最终处理方式也不同，有时取“并集”，有时则不然.其间是否存在着某个判断标准呢？　　我们不妨用“程序框图”来寻找答案（见图1、图2）.　　例1、例2的解答过程都运用了分类讨论，但存在显著差异：　　（1）例1中除了未知数x外，还含有参数a，b.例2中只含有未知数x.　　（2）例1的答案有多个输出端口，而例2只有一个.如果我们对例1的三个输出端口求“并集”，会得到{x

5、x∈R}是ax=b的解，这显然是错误的.5　　由此我们可以发现分类讨论最终结果的处理准则：求x，对x进行讨论，必须取“并集”；求x，对参数进

6、行讨论，不能取“并集”.如果把它表述成更一般的判断标准，则有：　　类型Ⅰ――求甲，对甲进行分类讨论，最终结果必须取“并集”；　　类型Ⅱ――求甲，对乙进行分类讨论，最终结果不能取“并集”.　　解题中的运用　　例3已知函数f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底数.若f（x）≥3恒成立，求实数a的取值范围.　　解析：由已知得f′（x）=.　　当a≤0时，f′（x）≤0，函数f（x）在（0，e]上单调递减.f（x）min=f（e）=ae-10，此时由f′（x）==0可求得x=.　　①若，当x∈0，时，ax-1≤0，f′（x）

7、≤0；当x∈，e时，f′（x）>0，所以函数f（x）在0，上单调递减，在，e上单调递增，f（x）min=f=1+lna.根据题意应有a>，1+lna≥3；即a>，a≥e2；解得a≥e2.　　②若≥e即0　　综上可得a的取值范围是[e2，+∞）.　　点评：求a的范围，对a进行讨论，属于类型Ⅰ，最后结论应将各个分类讨论的结果取“并集”.　　例4已知a>0，b∈R，函数f（x）=4ax3-2bx-a+b.求证：当0≤x≤1时，函数f（x）的最大值为2a-b+a.　　解析：f′（x）=12ax2-2b.因为a>0，所以当b≤0时，必有f′（x）≥

8、0，则函数f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=3a-b.　　当b>0时，因为x≥0，由f′（x）=0可得x=.因为0≤x≤51，所以必须再对与1的大小进行讨论.　　①若0，所以函数f（x）在0，上单调递减，在，1上单调递增，f（x）max=max{f（0），f（1）}.而f（0）=-a+b，f（1）=3a-b，所以：　　当f（1）≥f（0）即0

9、0，f′（x）≤0恒成立，函数f（x）在[0，1]上单调递减，所以f（x）max=f（0）=-a+b.　　为了清楚地梳理讨论过程中得到的各个结论，可以借用数轴.如图3所示，在数轴的上方相应地标