高考数学大一轮复习 第十三章 选考部分 13_2 不等式选讲 第2课时 不等式的证明教师用书 文 北师大版

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1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线第2课时不等式的证明1．不等式证明的方法(1)比较法：①求差比较法：知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明a－b>0即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法：aa由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方bb法称为求商比较法．(2)分析法：从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法：从已知条

2、件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法．这种证明不等式的方法称为综合法．(4)放缩法和反证法：在证明不等式时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法．反证法是常用的证明方法．它是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立．其证明的步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．(5)数学归纳法：数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题．证明需要经过两个步骤：①验证当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时

3、命题正确．②假设当n＝k时(k∈N＋，k≥n0)命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确．在完成了上述两政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立德”的重要论述，深刻认识新时代立德的重要性和紧迫性。“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线个步骤之后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都正确．2．几个常用基本不等式(1)柯西不等式：22222①柯西不等式的代数形式：对任意实数a，b，c，d，有(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)(当向

4、量(a，d)与向量(c，d)共线时，等号成立)．②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则

5、α

6、

7、β

8、≥

9、α·β

10、，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．222222③设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b12＋a2b2＋…＋anbn)，当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共线时，等号成立．(2)算术—几何平均不等式a1＋a2＋…＋ann若a1，a2，…，an为正数，则≥a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号n成立．22221．设a，b，m，

11、n∈R，且a＋b＝5，ma＋nb＝5，求m＋n的最小值．22222222222解根据柯西不等式(ma＋nb)≤(a＋b)(m＋n)，得25≤5(m＋n)，m＋n≥5，m＋n的最小值为5.2．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最大值．22解(a＋b＋c)＝(1×a＋1×b＋1×c)222≤(1＋1＋1)(a＋b＋c)＝3.1当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．32∴(a＋b＋c)≤3.故a＋b＋c的最大值为3.11λ3．设x>0，y>0，若不等式＋＋≥0恒成立，求实数λ的最小值．xyx＋y解∵x>0，y>0，11yx∴原不等式可化为－λ≤(＋)(x＋y)＝2＋

12、＋.xyxyyxyx∵2＋＋≥2＋2·＝4，当且仅当x＝y时等号成立．xyxy政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立德”的重要论述，深刻认识新时代立德的重要性和紧迫性。“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线11＋x＋y∴xymin＝4，即－λ≤4，λ≥－4.题型一用综合法与分析法证明不等式1例1(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3；22x－2xy＋y(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋

13、c≥3.证明(1)因为x>0，y>0，x－y>0，112x＋－2y＝2(x－y)＋222x－2xy＋yx－y1＝(x－y)＋(x－y)＋2x－y312≥3x－y＝3，2x－y1所以2x＋≥2y＋3.22x－2xy＋y(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥3，2只需证明(a＋b＋c)≥3.222即证：a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，222故需证明：a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．222即证：a＋b＋c≥