奥数：五级奥数.计数综合.容斥原理（abc级）.学生版

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1、容斥原理知识结构一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积．图示如下:表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积．1．先包含——重叠

2、部分计算了次，多加了次；2．再排除——把多加了次的重叠部分减去．　包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合的元素个数，然后加起来，即先求(意思是把的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题类、类与类元素个数的总和类元素的个数类元素个数类元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数同时是类、类、类的元素个数．用符号表示为：．图示如下：图中小圆表示的元素的个数，中圆表示的元素的个数，大

3、圆表示的元素的个数．1．先包含：重叠部分、、重叠了次，多加了次．2．再排除：重叠部分重叠了次，但是在进行计算时都被减掉了．3．再包含：．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．例题精讲【例1】实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有人，参加数学兴趣小组的有人，有人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【巩固】芳草地小学四年级有人学钢琴，人学画画，人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【例1】某班共有人，参加美术小组的有人，参加音乐小组的有人，有人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐

4、小组的有多少人？【巩固】四年级一班有人，其中人参加了数学竞赛，人参加了作文比赛，人两项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？【例2】对全班同学调查发现，会游泳的有人，会打篮球的有人．两项都会的有人，两项都不会的有人．这个班一共有多少人？【巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有人，参加军棋比赛的有人，有人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【例3】名学生参加数学和语文考试，其中语文得分分以上的人，数学得分分以上的人，两门都不在分以上的有人．问：两门都在分以上的有多少人？【巩固】有位旅客，其中有人既不懂英语又不懂俄语，有人懂英语，人懂俄

5、语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？【例1】一个班人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有人；做完数学作业的有人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？【巩固】四年级科技活动组共有人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有人，装配好一架飞机模型的同学有人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【例2】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有人，手中

6、有黄旗的共有人，手中有蓝旗的共有人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有人．而手中只有红、黄两种小旗的有人，手中只有黄、蓝两种小旗的有人，手中只有红、蓝两种小旗的有人，那么这个班共有多少人？【巩固】某班有人，其中人爱打篮球，人爱打排球，人爱踢足球，人既爱打篮球又爱踢足球，人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？【例1】四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍

7、，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．【巩固】五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．【例1】在某个风和日丽的日子，个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中个人带了汉堡，个人带了鸡腿，个人带了芝士蛋糕，有

8、个人既带了汉堡又带了鸡腿