奥数：四级奥数.计数综合.几何计数（abc级）.学生版

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1、几何计数知识结构一、公式计算法几何计数内容很广，包括数线段的条数，角的个数，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的个数，也包括数立体图形的个数。图形的计数一般有两种思考方法：公式计算法和分类计数法。三年级学习的线段、长方形和正方形的计数就属于公式计算法。（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n个点，那么线段总数是（n－1）＋（n＋2）＋…＋3＋2＋1（2）如果一个长方形的长边上有n个小格，宽边上有m个小格，那么长方形的总数是（1＋2＋3＋…＋n）×（1＋2＋…＋m）（3）如果把正方形各边都n等分，那么正方形的总

2、数是n2＋（n－1）2＋（n－2）2＋…＋32＋22＋12上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。二、对应法将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．重难点（1）分类数图形。（2）对应法数图形。例题精讲一、分类数图形【例1】下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根

3、小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？【巩固】如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【例2】图中有______个正方形．【巩固】数一数：图中共有________个正方形。【例1】右图中三角形共有个．【巩固】数一数图中有_______个三角形．【例2】图中共有多少个三角形？【巩固】下图是由边长为1的小三角形拼成，其中边长为4的三角形有_____个。【例1】如图，每个小正方形的面积都是l平方厘米。则在此图中最多可以画出__________个

4、面积是4平方厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。【巩固】图中的每个小方格都是面积为1的正方形，面积为2的矩形有个。一、对应法数图形【例2】在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？【例3】在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【巩固】用一张如图所示的纸片盖住方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？一、几何计数综合【例1】如图，连接一个正六边形的各顶点．问图中共有多少个等腰三角形(包

5、括等边三角形)？【巩固】如右图是一个跳棋棋盘，请你算算棋盘上共有多少个棋孔？【例2】如图所示，在直线上有7个点，直线上有9个点．以上的点为一个端点、上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在与之间的交点数．【巩固】图中可数出的三角形的个数为．【例1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【巩固】下图中的正方形被分成9个相同的

6、小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？【例1】一张长方形纸片，长是宽的2倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形，……，共对折7次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？【巩固】将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作．按上述规则完成五次操作后，剪去所得的小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸后，一共有多少个小洞孔？【例2】一个圆上有12个点A1，A2，A3，…

7、，A11，A12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法?课堂检测【随练1】数一数，图中有_________________个三角形。【随练1】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?家庭作业【作业1】图中共有          个三角形。【作业2】右图是半个正方形，它被分成一个一个小的等腰直角三角形，图中，正方形有个，三角形有个。【作业1】图

8、中共有个正方形。【作业2】用三根火柴可拼成一个小“△”，若用108根火柴拼成如图所示形状的大三角形，请你数一数共有多少个三角形？【作业3】图中每个小正方形的边长都是l厘米，则在图中最多可以画出面积是3平方厘米的格点三角形(顶点在图中交叉点上的三角形)____个。【作业1】如图所示，在边长为1的小正方形组