奥数：第讲应用题第9讲

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1、第12讲应用题第19讲行程与工程例1从电车总站每隔一定时间开出一辆电车，甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行．甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车．那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车?答案11分钟．分析本题类似于“行程问题之四”中的例7．由于车站发车的时间间隔相同，并且汽车的行驶速度相同，所以相邻两车间的间隔都相等．当一个人与一辆车相遇时，下一辆正好和他相距一个车与车的间隔；而之后，是相遇问题．我们就要通过题目条件，根据上面的分析，求出汽车的速度和间隔．如图12—1，甲、乙同时在B处

2、和一辆车相遇，下一辆电车在A，10分钟后，甲与车在C相遇，此时乙在D．这时，我们知道甲、乙间的距离CD，也就是乙和车的距离，又知道再过15秒乙与车相遇，这样通过相遇问题的计算，车的速度就求出来了．详解在图12—1中，我们认为甲、乙两人与一辆车在B处相遇，此时，下一辆与他们相遇的车在A，10分钟后，甲与该车在C相遇，此时，乙在D，则用甲、乙的速度，可求CD：再过15秒钟，乙从D、车从C出发，相遇于CD中的一点．由此可求出汽车的速度为每分钟：由于10分钟内，甲与车分别从B、A出发相遇，所以相邻两电车的间隔，也就是AB为：所以，车站发车的时间间隔为：评注本题中运用了比

3、较法，将两人与车相遇间隔中相差的15秒，转化为了一个乙与车的相遇问题．这种行程问题中的比较法已在本书多次出现，它是解决这类问题的关键．例2一个圆的周长为1．26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行．这两只蚂蚁每秒钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米，在运动过程中它们不断地调头．如果把出发算作第零次调头，那么相邻两次调头的时间间隔顺次是1秒、3秒、5秒……即是一个由连续奇数组成的数列．问它们相遇时，已爬行的时间是多少秒?答案49秒．分析对于这种不断改变前进方向的问题，我们先看简单的情况：在一条直线上，如图12—2，一只蚂蚁先从0点出发向右走，然后按照经过

4、1秒、3秒……改变方向．由于它的速度没有变化，可以认为蚂蚁每秒钟走一格．第一次改变方向时，它到A1，走1格，OA1=1格；第二次改变方向时，它到A2，走3格，OA2=2格；第三次改变方向时，它到A3，走5格，OA3=3格；第四次改变方向时，它到A4，走7格，OA4=4格；第五次改变方向时，它到A5，走9格，OA5=5格．我们不难发现，小蚂蚁的活动范围在不断扩大，每次离0点都远了一格．当两只蚂蚁活动范围重合时，也就是它们相遇的时候．另外我们从上面的分析可知，每一次改变方向时，两只蚂蚁都在出发点的同一侧，如图12—3．这样，通过相遇问题，我们可以求出它们改变方向的次

5、数，进而求出总时间．详解由前面分析知，每一次改变方向时，两只蚂蚁之间的距离都缩短：5.5+3.5=9厘米．所以，到相遇时，它们已改变方向：1.26×100÷2÷9=7次．也就是在第7次要改变方向时，两只蚂蚁相遇，用时：1+3+5+7+9+11+13=49秒．评注本题并不在于求相遇地点，而是更关心相遇时已改变方向的次数，这样做是因为我们要求的时间跟改变方向的次数直接相关．但如果本题不是恰巧在第七次改变方向时相遇，就会变得更麻烦．有兴趣的读者可将原题中的1.26米变为1.28米，结果会怎么样?例3一条双向铁路上有11个车站，相邻两站都相距7千米．从早晨7时开始，有1

6、8列货车由第十一站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第一站，速度都是每小时60干米．早晨8时，由第一站发出一列客车，向第十一站驶去，速度是每小时100千米．在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一站．问：在哪两个相邻站之间，客车能与3列货车先后相遇?答案在第五、六两站之间．分析本题是一个复杂的相遇问题，对此类问题，直接回答很困难．因此，我们不妨计算出客车到每一个站的时刻及和每一辆货车相遇的时刻．由于车站之间是等距的；所以客车到每一站的时刻也是等距的，因为货车之间是等距的，所以客车和每一辆货车相遇的时刻也是等距的．详解客车从一个车站走到下个车站所需时间为：所以客

7、车到每一站的时间为：第一站：8时0分；第二站：8时４分；第十一站：8时42分．而客车出发时，第一辆货车距为：　　　　所以，客车与第一辆货车相遇为8时　　　相临两货车间距为：　　　　　　　　　　所以，客车经过两辆货车的时间间隔为：则客车与18辆货车相遇时间顺次为：从上面不难发现，客车在8时16分到达第五站，8时21分到达第六站．在这期间，它于8时16分、8时18分、8时20分三次与货车相遇．所以，是在第五、六两站间，客车三次与货车相遇．评注在做题时，如果题目条件复杂，列举法虽然要逐个计算，但也许是最快捷的方法．本题是对相遇时间的列举．另外，我们可以对相遇的地点列举

8、，可能会更加简单．例4甲