全国中考数学分类解析汇编专题：定值问题

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1、2012年全国中考数学分类解析汇编专题8：定值问题解答题1.（2012江西南昌8分）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线，∴二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（

2、2，﹣1）。（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：对称轴为x=2；都经过A（1，0），B（3，0）两点。②线段EF的长度不会发生变化。∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，∴kx2﹣4kx+3k=8k，∵k≠0，∴x2﹣4x+3=8。解得：x1=﹣1，x2=5。∴EF=x2﹣x1=6。∴线段EF的长度不会发生变化。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质。【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c中：a的值决定了抛物线的开口方向，a＞0时，抛物线的开口向上；a＜0时，抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解

3、。（2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。②联立直线和抛物线L2的解析式，先求出点E、F的坐标，从而可表示出EF的长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化。2.（2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm

4、、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5.⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y=3时相应x的值；⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.【答案】解：（1）∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，则。∴。∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，∴GD=3－x，AG=4－x。∴，即。∴y关于x的函数关系式为。当y=3时，，解得:x=2.5。（2）∵，∴为常数。（3）延长PD交AC于点Q.∵正方形ABCD中，AC为对角

5、线，∴∠CAD=45°。∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°。∴∠GDP=∠ADQ=45°。∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP。∴，化简得：，解得：。∵0≤x≤2.5，∴。在Rt△DGP中，。【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由可解出x的值。（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可。（3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP

6、中，解直角三角形可得出PD的长度。3.（2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线、．(1)求抛物线对应二次函数的解析式；(2)求证以ON为直径的圆与直线相切；(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长．【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2＋bx＋c，则解得。∴抛物线对应二次函数的解析式所以。（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

7、因为点M、N在抛物线上，∴，∴x22=4(y2+1)。又∵，∴。又∵y2≥－l，∴ON=2＋y2。设ON的中点E，分别过点N、E向直线作垂线，垂足为P、F，则，∴ON=2EF，即ON的中点到直线的距离等于ON长度的一半，∴以ON为直径的圆与相切。（3）过点M作MH⊥NP交NP于点H，则，又∵y1=kx1，y2=kx2，∴（y2－y1)2=k2(x2－x1)2。∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2。又∵点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上，∴，即x2－4kx－4=0，∴x2＋x1=4k，x2·x1=－4。∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1

8、+k2)[(x2＋xl)2－4x2·xl]=16(1+k2)2。∴MN=4(1+k2)。延长N