奥数：五级奥数.几何.五大模型（c级）.学生版

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1、五大模型（二）知识框架一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；反之，如果，则可知直线平行于．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这

2、两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①或者②蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①②；③的对应份数为．四、相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型①；②．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改

3、变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。共边定理：设直线A

4、B与PQ交于点M，则特殊情况：当PQ∥AB时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB  例题精讲一、三角形相似模型【例1】图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【巩固】如图，四边形和都是平行四边形，四边形的面积是，，则四边形的面积________．【例1】已知三角形的面积为，，是的中点，且∥，交于，求阴影部分的面积．【巩固】图中是边长为的正方形，从到正方形顶点、连成一个三角形，已知这个三角形在上截得的长度为，那么三角形的面积是多少？

5、【例1】如图，是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为和，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？【巩固】是平行四边形，面积为72平方厘米，、分别为、的中点，则图中阴影部分的面积为平方厘米．二、蝴蝶模型【例1】如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，AB=8,AD=15四边形的面积为______．【巩固】如图5所示，矩形ABCD的面积是24平方厘米，、三角形ADM与三角形BCN的面积之和是7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是平方厘米。【例1】如图，是等腰直角三角形，是正方形

6、，线段与相交于点．已知正方形的面积48，，则的面积是多少？【巩固】如图所示，是梯形，面积是，的面积是9，的面积是27．那么阴影面积是多少？【例2】如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为．【巩固】下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是，，，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于．三、共角定理（燕尾定理）【例1】如图所

7、示，在四边形中，，，四边形的面积是，那么平行四边形的面积为________．      【巩固】正六边形，，，，，的面积是平方厘米，，，，，，分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．【例1】已知四边形，为正方形，，与是两个正方形的边长，求【巩固】如图，三角形的面积是，，，三角形被分成部分，请写出这部分的面积各是多少?【例1】如右图，面积为的中，，，，求阴影部分面积．【巩固】如图，的面积为1，点、是边的三等分点，点、是边的三等分点，那么四边形的面积是多少？【例2】如图，面积为l的

8、三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求阴影部分面积.【巩固】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求中心六边形面积.课堂检测【随练1】如图，在正方形中，、分别在与上，且，，连接、，相交于点，过作、得到两个正方形和，设正方形的面积为，正方形的面积为，则___________．【随练1】如图所示，三角形AEF，三角形BDF,三角形BCD，都是正三角形，其中AE:BD=1:3,三角形AEF