笔记 数字信号处理

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1、2012-07-04Bylalalala~~~笔记数字信号处理1离散时间傅立叶变换(DTFT)Χejω≜Fxn=n=-∞∞x(n)e-jωnxn≜F-1Xejω=12π-ππΧejωejωndωDTFT将一个离散信号xn变换为实变量ω的复值连续函数Χejω，ω称为数字频率，以rad（弧度）计。这是一个关于连续变量ω的函数。2z变换2.1双边z变换Χz≜Zxn=n=-∞∞x(n)z-nxn≜Z-1Xz=12πjcXzzn-1dz其中，z是复变量。对于Xz存在的z值的集合称为收敛域（ROC），Rx-

2、某个正数。并且，反变换中的c是位于ROC内，环绕远点的某一逆时针方向闭合围线。注意：a)复变量z称为复频率，给出为z=

3、z

4、ejω，这里的

5、z

6、是衰减（阻尼），ω是实频率。也就是说DTFT里不收敛的x(n)，通过

7、z

8、的衰减，实现收敛。因此z变化更具普适意义。b)函数

9、z

10、=1（或z=ejω）是在z平面内半径为1的圆，也称为单位圆。如果ROC包括单位圆，那么就可以在单位圆上对Χz求值：Χz

11、z=ejω=Xejω=n=-∞∞x(n)e-jω=Zxn2012-07-04Bylalalala~~~因此，DTFT可以认为是z变换X(z

12、)的特例。a)z域LTI稳定性：当且仅当单位圆是在H(z)的ROC内，一个LTI系统就是稳定的。b)z域因果LTI稳定性：当且仅当系统函数H(z)的全部极点位于单位圆内时，一个因果LTI系统是稳定的。1.1z域的系统表示系统函数H(z)给出为：Hz≜Zhn=-∞∞h(n)z-n;Rh-

13、zl)k=1N(z-pk)=B(z)A(z)其中，zl是系统零点，pk是系统极点。2离散傅立叶变换（DFT）2.1离散傅立叶级数由傅立叶分析可知，周期函数能用复指数的线性组合来合成，这些复指数的频率都是基波频率（如2πN）的倍数，一个周期序列xn=1Nk=0N-1X(k)ej2πNkn,n=0,±1,±2,…,式中，Xk称为离散傅立叶级数系数，由下式给出：X(k)=n=0N-1xne-j2πNkn,k=0,±1,±2,…,2012-07-04Bylalalala~~~1.1离散傅立叶变换对于一个有限长序列x(n)，需要先构造一

14、个周期为n的周期信号：xn=r=∞∞xn-rN=xnmodN则此N点序列的离散傅立叶变换为：Xk≜DFTxn=Xk,0≤k≤N-10,其余k=XkRNk=n=0N-1xnWNnk,0≤k≤N-1,其中WN≜e-j2πN所以，傅立叶级数和傅立叶变换的区别和联系就在于是否是周期信号。同样适用于模拟域。2关于ejωΩ的联系和区别ω=Ω*TΩ=2π/TΩ：称为连续时间频率变量ω：归一化频率Ω可以理解为f*2π，ω再归一化到2π上。其实这个Ω与之前的ω是一个意思，都是角频率，只不过奥本海姆的书上把它特别表示成了Ω。3关于抽取和内插参考奥

15、本海姆的《离散时间信号处理》3.1抽取对于一个连续时间信号的样本序列：x[n]=xc(nT)假设降低采样率后的新序列定义为：xd[n]=x[nM]=xc(nMT)对应的，x[n]=xc(nT)的离散时间傅立叶变换为：2012-07-04Bylalalala~~~Χejω=1Tn=-∞∞Xc(jωT-j2πkT)（时域上是原连续信号与一个周期性的冲击序列的乘积，所以频域上是相应的卷积）将T’=MT带入上式，可得：Xdejω=1Mi=0M-1X(ej(ωM-2πiM))对于上图的关键说明：1.先要弄清楚Ωω的区别。Ω是连续时间频率

16、变量，ω是归一化频率。2.抽取后，ω轴的频带展宽不好理解。实际上，展宽是由归一化带来的。抽取的本质是采样频率的降低，也就是采样周期的增大，因此在Ω轴上，Ωs=2π*f’也变小，相应的，卷积频谱的个数就变多。也就是在Ω轴上能看到更多个原连续信号频谱。归一化后，ω轴被拉伸，变相的就看到频谱被展宽。3.举例来说，例如原来的采样频率是1kHz，那原连续信号的频谱会每隔1kHz重复出现。现在降低采样频率到500Hz，那原连续信号的频谱会每隔500Hz重复出现。乘以2π归一化后，频谱即相应展宽了。内插即反向。2012-07-04Bylal

17、alala~~~1滤波器设计1.1IIR滤波器IIR滤波器的系统函数为Hz=Y(z)X(z)=n=0Mbnz-nn=0Nanz-n=b0+b1z-1+⋯+bMz-M1+a1z-1+⋯+aNz-N;a0=1差分方程表示为：yn=m=0Mbmxn-m-m=1Namyn-m1.1.