2014年高考数学一轮复习热点难点精讲精析23函数的奇偶性与周期性

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1、亲爱的同学:经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！那今天就来小试牛刀吧！注意哦：在答卷的过程中一要认真仔细哦！不交头接耳，不东张西望！不紧张！养成良好的答题习惯也要取得好成绩的关键！祝取得好成绩！一次比一次有进步！2014年高考一轮复习热点难点精讲精析:2.3函数的奇偶性与周期性一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个,都有f(-X)=f(X),那么函数f(x)是偶函数。关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个,都有f(-X)=-f(x)1关于原点对称那么函数f(x)是奇函数。注：1、奇偶函数的定义域

2、的特点：由于定义中对任意一个X都有一个关于原点对称的-X在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称；2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。二、奇偶函数的性质1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性担回，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性桓反(填“相同”、“相反”)。2、在公共定义域内，奇函数与奇函数奇因数与偶因数偶函数与偶因数和奇国数偶函数差奇因数偶函数积偶因数奇因数偶因数商偶因数奇国数偶函数亦即：(1)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；(2)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；(3)一个奇函

3、数，一个偶函数的积函数是奇函数。注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题屮直接应用，解答题需先证明再利用。3、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义,则f(0)=0.4、对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称，且这是函数具冇奇偶性的必要不充分条件;5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个X都必须成立；6、可逆性：/(-X)=/(x)O/(兀)是偶函数；/(-X)=-f(x)«/(兀)奇函数；7、等价性：/(-X)=/(X)O/(-X)-/(X)=0/(一兀)=一/(兀)O/(-兀)+fM=08、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关

4、于y轴对称；9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数乂是偶函数、非奇非偶函数。三、周期性1、一周期函数：对于函数yh'Q,如果存在一个非零常数7；使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x^T)=f(x)t那么就称函数尸心矽为周期函数，厂为这个函数的周期。2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期屮存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期。【热点难点全析】一、函数奇偶性的判定1、相关链接<1>利用定义判断函数奇偶性的一般步骤是I结论](1)首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。(2)若定

5、义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系①若f(-x)=-f(x)(或f(-x)+f(x)=O),则为奇函数；②若f(-X)=f(x)(或f(-x)-f(x)=o),则f(x)为偶函数;③若f(-x)=-f(x)且f(-X)二f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数;④若f(-x)Hf(x)且f(-x)^-f(x),则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。〈2〉图彖法：<3>性质法:〈4>一些重要类型的奇偶函数(1)函数f(x)=a4-ax为偶函数;函数f(x)=ax-ax为奇函数;(2)函数f(x)=(宀刁/(a+ax)=(a-l)/(才+1)其中(a>0且aHl

6、)为奇函数;(3)函数f(x)=loga()为奇函数(a>0且aHl);(4)函数f(x)=logaO为奇函数(a>0且aHl)2、例题解析K例1』讨论下述函数的奇偶性：解：(1)函数定义域为R,・・・f(x)为偶函数;(另解)先化简：，显然为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。(2)须要分两段讨论：①设②设③当x二0时f(x)-0,也满足f(-x)=-f(x)；由①、②、③知，对xGR有f(一x)二一f(x),・・・f(x)为奇函数；(3),・・・函数的定义域为，Af(x)=log21=0(x=±l),即f(x)的图象由两个点(-1,0)与(1,0)组成，这两点既

7、关于y轴对称，又关于原点对称，・・・f(x)既是奇函数，又是偶函数；(4)Tx2Wa2,・°・要分a>0与a〈0两类讨论，①当a>0时，,・••当a>0时，f(x)为奇函数；既不是奇函数，也不是偶函数K例2》是定义在(一8,-5］［5,+oo)上的奇函数，且在［5,+->)上单调递减，试判断f(Q在(一8,—5］上的单调性，并用定义给予证明.解析：任取乂<丸冬一5,则一k>—屍鼻一5.因f(^)在［5,4-oo］上单调递减，所以/(-Xi)f(A2),即fi