高考数学一轮复习热点难点精精析2.3函数的奇偶性与周期性

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1、高考一轮复习热点难点精讲精析：2.3函数的奇偶性与周期性一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数。关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数。关于原点对称注：1、奇偶函数的定义域的特点：由于定义中对任意一个x都有一个关于原点对称的-x在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称；2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且

2、解析式化简后等于零。二、奇偶函数的性质1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填“相同”、“相反”）。2、在公共定义域内，亦即：（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题需先证明再利用。3、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义，则f(0)=0.4、对称性：奇（偶）函数的定

3、义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；6、可逆性：是偶函数；奇函数；7、等价性：8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、周期性1、周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数，T为这个函数的周期。2、最小正周期

4、：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期。【热点难点全析】一、函数奇偶性的判定1、相关链接<1>利用定义判断函数奇偶性的一般步骤，即：（1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。（2）若定义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系①若f(-x)=-f(x)（或f(-x)+f(x)=0），则为奇函数；②若f(-x)=f(x)(或f(-x)-f(x)=0)，则f(x)为偶函数；③若f(-x)=-f(x)且

5、f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数;④若f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。<2>图象法：<3>性质法：<4>一些重要类型的奇偶函数（1）函数f(x)=ax+a-x为偶函数;函数f(x)=ax-a-x为奇函数；（2）函数f(x)=(ax-a-x)/(ax+a-x)=(ax-1)/(ax+1)其中（a>0且a≠1）为奇函数；（3）函数f(x)=loga()为奇函数（a>0且a≠1）;（4）函数f(x)=loga()为奇函数（a>0且a≠1）2、例题

6、解析〖例1〗讨论下述函数的奇偶性：解：（1）函数定义域为R，，∴f(x)为偶函数；（另解）先化简：，显然为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。（2）须要分两段讨论：①设②设③当x=0时f(x)=0，也满足f(－x)=－f(x)；由①、②、③知，对x∈R有f(－x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数；（3），∴函数的定义域为，∴f(x)=log21=0(x=±1)，即f(x)的图象由两个点（－1，0）与（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数；（4）∵x2≤

7、a2,∴要分a>0与a<0两类讨论，①当a>0时，，∴当a>0时，f(x)为奇函数；既不是奇函数，也不是偶函数〖例2〗f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．　　解析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－x2≥－5．因f（x）在［5，＋∞］上单调递减，所以f（－x1）＜f（－x2）f（x1）＜－f（x2）f（x1）＞f（x2），即f（x）在（－∞，－5］上单调减函数．二、分段函数的奇偶性1、分段函数奇偶

8、性的判定步骤（1）分析定义域是否关于原点对称；（2）对x的值进行分段讨论，寻求f(X)与f(-X)在各段上的关系；（3）综合（2）在定义域内f(X)与f(-X)的关系，从而判断f(X)的奇偶性。注：奇偶性是函数的一个整体性质，不能说函数在定义域的某一段上是奇函数或偶函数。2、例题解析〖例1〗已知函数。试判断的奇偶性分析：确定定义域判断每一段上与的关系判断整个定义域上与的关系结论。解答：由题设可知函数