函数单调性及其应用

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1、函数单调性及其应用函数的单调性是函数的一种简单性态，也是函数的一种重要性质.用单调性可以解决一些不等式的证明、求一些函数的最值和判断方程根的情况等.本文先给出函数单调性的定义，接着给出单调性的判定定理，最后从几个方面说明单调性在教学上的应用.1.函数单调性的概念1.1、函数单调性的定义定义如果函数对于区间I内的任意两点，当时有，则称此函数在I上单调增加，I称为单调增区间；当时有，则称此函数在I上单调减少，I称为单调减区间.1.2.1、函数单调性的判定的预备知识以下三个定理在这里只给出，而不给予证明.定理1.2.1（罗尔中值定理）

2、设函数满足以下三个条件：（1）在闭区间内连续；（2）在开区间内可导；（3）则至少存在一点，使得.定理1.2.2（拉格朗日中值定理）设函数满足以下两个条件：在闭区间内连续；（1）在开区间内可导6则至少存在一点，使得.定理1.2.3（根的存在定理）设函数在闭区间内连续且，则至少存在一点，使得.即方程至少存在一个根.1.2.2、函数单调性的判定有的函数形式比较简单，可以直接用定义判定其单调性。但有的函数的单调性仅凭定义很难判定。因此需要借助以下定理：定理1.2.4设函数在区间内可导，若导函数，则函数在区间内单调递增；若导函数，则函数在

3、区间内单调递减.2.函数单调性的应用2.1、证明不等式用函数单调性可以证明不等式.例2.1.1证：当时，.证构造辅助函数，有，当时有即在内单调增加，从而当时有故也即.即证.例2.1.2证：当时，.证构造辅助函数当时，即在内单调减少.从而当时，有.由的定义知，有6，由对数的性质可得.故原证题得证.这个不等式也可以用来比较乘幂的大小.例如当时，有幂的大小关系.2.2、求函数的最值用函数的单调性可以求一些函数的最大值和最小值.例2.2.1求在闭区间内的最大值和最小值.解当时，有即在闭区间内单调增加。因而函数在闭区间内的最大值为，最小值

4、为.例2.2.2求的最大值和最小值.解函数的定义域为实数域，现考虑该函数在实数域上的最大值和最小值。因为，令得。今把实数域分成、和三个区间考虑.（1）当时，，此时函数单调增加.因而当时有；（2）当时，，此时函数单调减少.因而当时有；（3）当时，，此时函数单调增加。因而当时有.即综合（1）（2）（3）可知：对于，都有.故函数有最大值和最小值.2.3、判定方程是否有唯一解6利用函数单调性及根的存在定理可以判定方程是否有唯一解.有的方程目前无法求出具体解，但应用根的存在定理我们可以断定在某个区间内是否存在解。如果又知道函数单调，即可得

5、出方程=0在某个区间内有唯一解.例2.3.1证：方程在实数域上有唯一解.证设函数（1）存在性（根的存在定理）显然函数在闭区间内连续，又则由根的存在定理可知至少存在一点，使得.即方程=0至少存在一个解.（2）唯一性（单调性）因为函数在闭区间内连续且，即。下证方程的解只有.假设方程还有一个解，即由知函数在实数域上单调增加，不妨设，则得与矛盾.即方程只有一个根.综合（1）（2）即证.例2.3.2设函数且在上连续，令求证：方程在内有且只有一实根.证（1）存在性显然函数在闭区间内连续，且有则由根的存在定理可知至少存在一点，使得.即方程有一

6、个根6，存在性得证；（3）唯一性因为当时有即函数在内单调增加.设方程有异于的根，即，且.不妨假设，由函数的单调性可知，即与不合.从而得方程只有一个根，唯一性得证.以下本文将不再证明函数的单调性，而直接说明函数单调性的应用.2.4、解方程利用函数的单调性可以解一些特殊的方程.例2.4.1解方程解因为单调增加，且有。由指数函数的单调性容易知道，即，当且仅当等号成立.即原方程等价为且，解得.故原方程的解为.例2.4.2解方程解令，。显然单调增加，单调减少，即曲线和曲线只有一个交点.因通过观察法可知，即原方程的解为.2.5、解不等式利用

7、函数的单调性可以解一些不等式.例2.5解不等式解原不等式两边的结构都是的形式，令，显然在实数域上单调增加.由于原不等式可化为，由的单调性可知：，解得.即此不等式的解为.2.6、求取值范围6利用函数的单调性可以求参数的取值范围.例2.6关于的方程有实数解，求参数的取值范围.解由方程可得，因为，所以.不难知当时，单调增加，因而；当时，单调减少，因而.综上可知参数的取值范围为.2.7、求函数值利用函数的单调性可以求某些函数的函数值.例2.7已知：，且满足，求.解方程可改写为，即都是关于的方程的解.令，显然在上单调增加，可知方程=0在上

8、有唯一解.由于知，则即.从而有.3.小结函数的单调性是很重要的性质，从图形上看它是上升或下降的.如果函数具有了这个性质，在实际中无疑具有重要的意义.比如它还可以用来证明条件不等式、它还可以用在生活中的淋雨模型、人口控制，还可以用它扩充到算子、泛函等.参考文献[1