2019版高考数学大一轮复习第八章立体几何初步第8节立体几何中的向量方法二——求空间角课件北师大版

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1、第8节　立体几何中的向量方法(二)——求空间角最新考纲1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.1.异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则知识梳理2.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝_______________＝________.3.求二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__________.

2、cos〈a，n〉

3、(2)如图②③，n1，n2分别是二面

4、角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足

5、cosθ

6、＝_________________，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).

7、cos〈n1，n2〉

8、[常用结论与微点提醒]1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝

9、cos〈a，n〉

10、，不要误记为cosθ＝

11、cos〈a，n〉

12、.2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.诊断自测解析(1)两直线的方

13、向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角；(2)直线的方向向量a，平面的法向量n，直线与平面所成的角为θ，则sinθ＝

14、cosa，n

15、；(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(教材练习改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A.45°B.135°C.45°或135°D.90°答案C答案30°4.已知正方体ABCD－A1B1C1D1如图所示，则直线B1D和CD1所成的角为________.答案90°5.(2018·郑州预测)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面AB

16、CD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________.解析如图，建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，由题意，AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，又CD⊥平面PAD，故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.答案45°解析(1)法一以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.图(1)图(2)则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).法二如图(2)，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1中点，则PN∥BC1，MN∥AB1，∴AB1与BC1所成的角是∠MNP

17、或其补角.∵AB＝2，BC＝CC1＝1，法三将直三棱柱ABC－A1B1C1补形成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图(3))，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1.图(3)(2)设等边三角形的边长为2.取BC的中点O，连接OA，OD，∵等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，∴OA，OC，OD两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.解析　法一取BC的中点Q，连接QN，AQ，易知BM∥QN，则∠ANQ或其补角即为所求，设BC＝CA＝CC1＝2，法二以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，答案C(1)证明作PG∥BD交CD于G，连接AG.在Rt△ADC中

18、，AC2＝AD2＋CD2＝4＋12＝16，∴AC＝4，又E为AC的中点，∴DE＝AE＝2，又AD＝2，∴∠ADE＝60°，∴AG⊥DE.∵AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD，又∵BD⊥CD，AD∩CD＝D，∴BD⊥平面ADC，∴PG⊥平面ADC，∴PG⊥DE.又∵AG∩PG＝G，∴DE⊥平面AGP，又AP平面AGP，∴AP⊥DE.(2)解以D为坐标原点，直线DB，DC，DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，规律方法利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角

19、(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.【训练2】如图，在六面体ABCD－HEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD.若DA＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3.(1)求证：EG⊥DF；(2)求BE与平面EFGH所成角的正弦值.(1)证明连接AC，由AE綊CG可知四边形AEGC为平行四边形，所以EG∥AC，而AC⊥BD，AC⊥BF，所以EG⊥BD，