空间解析几何与向量代数(3)

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1、第八章空间解析几何与向量代数一、教学要求1、了解空间直角坐标系、掌握点的表示方法。2、了解向量的概念；掌握单位向量、向量的方向佘弦和向量的坐标表示法。3、掌握向量的运算（加法运算、数乘运算、数量积、向量积）；掌握两个向量垂直、平行的充要条件；了解向量夹角的求法。4、掌握平面的点法式方程、平面的一般方程；掌握直线的点向式方程、一般式方程；会根据所给条件求平面、直线方程。5、了解曲面方程的概念；了解常用二次曲面的方程及其图形；了解母线平行于坐标轴的柱面方程、以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程。6、了解空间曲线的参数方程的一般方程。二、内容提要1．三阶行列式的计算公式==。2．直角坐标系（1）

2、坐标轴、坐标面上点的特征；（2）关于坐标平面、坐标轴、坐标原点的对称点；（3）空间两点间的距离公式3．向量的概念：（1）即有大小又有方向的量叫做向量(或失量)，记为或。（2）向量的坐标表示：点,则向量。其中、、为三个坐标轴正向上的单位向量。若、，则={，，}。（3）向量的长度叫向量的模，记为：设=，则=。当向量的模为1时，这个向量叫单位向量；与向量同方向的单位向量为=。（4）向量的方向余弦：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角的余弦叫该向量的方向余弦。设=，则且，即由非零向量的三个方向余弦构成的向量是与同方向的单位向量。4．向量的运算设=，=，则（1）数乘运算：；（2）加减运算：；（3）

3、数量积：==。（4）向量积：=两个非零向量与相互垂直Û=0；两个非零向量、平行Û=Û（即对应分量成比例）。两个向量与的夹角：==。5．平面方程（1）平面的点法式方程设平面过点，是平面的法向量，则平面的点法式方程为。（2）平面的一般方程。在平面的一般式方程中，以x、y、z的系数A、B、C为分量的向量就是平面的法向量；反之平面的法向量的三个分量就是三元一次方程中x、y、z的系数。（3）特殊的平面方程在平面的一般方程中，①若D=0，则平面过原点；②缺少一个变量，则平面平行于所缺变量代表的坐标轴，如平面平行于y轴；③仅有一个变量，则平面垂直于这个变量代表的坐标轴，如平面垂直于z轴。6．直线的

4、方程（1）直线的点向式方程已知直线L过点，且方向向量为=，则直线的点向式方程为（2）直线的一般式方程。直线的一般式方程与直线的点向式方程可以互化，其中。7．常用二次曲面的方程及其图形：球面椭球面椭圆抛物面(当时为旋转抛物面)椭圆锥面（当时为圆锥面）母线平行于坐标轴的柱面方程：方程中仅含二个变量的方程为母线平行于所缺变量代表的坐标轴的柱面方程。如为母线平行于y轴的柱面方程。以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程：某坐标面上的曲线绕其中一个坐标轴旋转时，所得旋转面的方程是：将曲线方程中与旋转轴相同的变量不变，而将另一变量变为其余两个变量平方和的正负平方根。如：yoz面上的曲线绕z轴旋转的曲面方程

5、为。8．空间曲线在坐标面上的投影曲线空间曲线在xoy面上的投影曲线方程。将空间曲线一般方程中的变量z消去所得的含x、y的方程，则为空间曲线在xoy面上的投影曲线方程。在其它坐标面上的投影曲线方程可类似求得。三、复习思考题（一）单项选择题1．点（1，-1，2）关于yoz坐标平面的对称点是（）；A（-1，-1，2）B（-1，1，2）C（-1，1，-2）D（1，1，-2）2．点（1，-1，2）关于x轴的对称点是（）；A（-1，-1，2）B（-1，1，2）C（-1，1，-2）D（1，1，-2）3．点（1，-1，2）关于坐标原点的对称点是（）；A（-1，-1，2）B（-1，1，2）C（-1，1

6、，-2）D（1，1，-2）4.过点（1，-1，2），且平行于yoz平面的平面方程是（）；ABCD5.过点（1，-2，2）且平行于x轴的直线方程是（）；ABCD6.已知向量={1，1，1}、={1，-1，0}，则=（）；A{1，1，1}B{2，0，1}C{1，1，-2}D{1，-1，-2}7．设球面方程，则球心M0及半径R分别为（）；AM0（0，1，-1），R=BM0（0，-1，1），R=CM0（0，1，-1），R=2DM0（0，-1，1），R=28．已知向量={2，-2，1}，则向量与y轴正向夹角的方向余弦=（）；ABCD9．与直线垂直的平面方程是（）；ABCD10．直线绕y轴旋转一

7、周所成的旋转曲面方程是（）；ABCD11．空间曲线Г：在yz坐标面上的投影曲线方程是（）；ABCD（二）、填空题1已知两向量={k，-1，2}、={-2，2，3}垂直，则k=。2向量与三个坐标轴正向的夹角为相等的锐角，则的三个方向余弦为。3直线与平面平行，则λ=。4曲面是，母线平行于轴。5yoz面上的直线绕z轴旋转所得旋转面的方程为。（三）、计算题1．已知={2,-1,3}、={-1，2，-1}，求、、。2．求平面方程：（1）过点M（2，0，3）且与直线垂