向量代数与空间解析几何(3)

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1、向量代数与空间解析几何*.*向量代数的几个注意点①向量平移后，向量的坐标不变，这是因为向量的模和方向都不变②向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影（即向量的坐标）不同，前者是向量，后者是数量。③在向量代数中，若,则中不一定有零向量.若则不一定相等.④两向量的夹角指两向量正方向的夹角，其限制范围⑤两非零向量垂直，⑥两非零向量平行或对应坐标成比例，⑦在解向量方程时，注意：a）由于向量没有除法运算，所以在方程中不能除以非零向量；b）向量的“乘法”由向量积与数量积之分，还有混合积；c）向量积不满足交换律；d）向量积的模可计算面积，混合积可计算体积及向量共面。*.*空间解析几何的几个注意点

2、：1）熟记直线、平面的各类方程及表达各种位置关系的有关公式2）点到直线距离直线L过P点，为方向向量，M到L距离3）公垂线长度直线L1过P1，直线L2过P2，4）求空间直线（或空间曲线）在平面上的投影时，其关键时要求出投影平面（或投影柱面）的方程，将此方程和所给平面方程联立起来，即得所求的投影方程。5）柱面，旋转面的特点，二次曲面一般方程6）空间曲线方向向量或，曲面法向量5一、向量的运算1、填空题(1)已知都是单位向量，且满足，则。(2)已知，则。(3)设，且，则。2、计算题（１）设,求一单位向量，使，且共面。（２）求与向量共线且满足的向量。（３）设与为非零向量，且，求二、求空间直线方程

3、[解题提示]：在求空间直线方程时，“定点”（确定所求直线上的一点）和“定向”（所求直线的方向向量）是关键。1、求过点P（-1，0，4）平行于平面3x-4y+z=10且与直线x+1=y–3=z/2相交的直线方程。三、求平面方程[解题提示]：求平面方程时，若题设条件中有两个相交的平面（其方程为一般式方程），则用平面束方程处理简便；若题设条件中平面过一点，则一般用点法式方程，此时问题转化为求平面的法向量。１、一平面垂直于平面z=0，且通过点M0（1，1，1）到直线的垂线段，求此平面的方程。２、求通过直线且与平面垂直的平面。四、求切线，切平面的方程。[解题提示]：⑴曲线的切线方程为其中是切点，

4、是曲线切向量，平行于向量⑵曲线的切线方程为t0为切点处的参数值。5⑶曲面F（x,y,z）=0的切平面方程为（*）其中是切点，是曲面在切点的法向量。⑷当曲面方程为显式z=z(x,y)时，则切平面方程为１、试证曲面上任一点切平面与三坐标面所围的立体体积为定值。２、求曲面的切平面，使之过直线。３、在曲线的所有切线中，与平面平行的切线有几条？方程是什么？４、求在点（1，1，1）处的切线与法平面。五、求投影方程[解题提示]：求空间曲线在坐标面上投影曲线方程的基本方法：先求出投影柱面的方程，然后与所给坐标面的方程联立起来就是所求的投影曲线方程。１、曲线方程为，求它在三个坐标面上的投影。２、直线在三

5、个坐标面及平面上的投影方程。六、求曲面方程[解题提示]：求旋转曲面方程的基本方法，平面曲线的绕某坐标轴旋转，则该坐标所对的变量不变，而将曲线方程中另一变量改写为该变量与第三变量平方和的正负平方根。１、直线绕z轴旋转一周，求旋转曲面方程。Ppt２、曲线绕z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程。5１、已知柱面的准线方程为，母线平行于y轴，求此柱面方程。２、已知准线为母线的方向数是{0，1，1}，求满足条件的柱面方程。３、求顶点在原点，准线为的锥面方程。练习题：１、设，则。２、向量为实数，证明：使最小的向量垂直于３、直线L过点M（1，-2，0）且与两条直线，垂直，则L的参数方程为。４、椭球面与平面

6、之间的最短距离为。５、设直线在平面z=1上的投影为直线L，则点（1，2，1）到直线L的距离等于。６、求直线L：在平面上的投影直线L0的方程，并求L0绕y轴旋转一周所成曲面的方程。７、证明：锥面z=xf(y/x)的切平面经过其顶点（0，0，0），其中f是可微函数。８、求过直线的平面使之平行于曲线在点（1，-1，2）处的切线。5９、求由曲线绕y轴旋转一周得到的曲面在点处的切平面方程。10、求过与的平面方程。11、设均为单位向量，夹角为，求以为邻边的平行四边形面积。5