梁的位移及简单超静定梁

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1、第六章梁的位移及简单超静定梁内容提要一、平面弯曲时梁的变形与位移Ⅰ、梁的变形1.挠曲线平面弯曲时，梁的轴线弯曲成位于形心主惯性平面内的一条光滑连续的平面曲线，称为挠曲线，如图6-1中的。2.弯曲变形以挠曲线(中性层)的曲率表示梁弯曲变形程度，曲率与弯矩间的关系为(6—1)式中，为弯矩，为梁的弯曲刚度，(6-1)式右端的负号，是因为在图(6-1)所示坐标系中，y向下为正，挠曲向上凸时曲率正，于是正弯矩产生负曲率，负弯矩产生正曲率。(6-1)是在小变形，线弹性的条件下导出的，纯弯曲时，弯矩为常量，曲率为常量，挠曲线为一段圆弧线。横力弯曲时，不计剪力对变形的影响，曲率

2、和弯矩均为x的函数，曲率与弯矩成正比。Ⅱ、梁的位移1.挠度横截面在垂直于原轴线方向的位移，称为挠度，用w表示。表示挠度随横截面位置x变化规律的方程为挠度(或挠曲线)方程在图6-1所示坐标系中，w向下为正，向上为负。2.　转角　　横截面相对于其原方位的角位移，称为转角，用表示。在一般细长梁中，不计剪力对变形的影响，变形后的横截面仍保持为平面，且垂直于梁的挠曲线，于是转角也为x轴与挠曲线在该点的切线之间的夹角。(图6-1)，在图6-1所坐标系中，以顺时针转向为正，反之为负。在小变形的情况下，转角等于挠曲线在该点处的斜率，即Ⅲ、变形与位移变形与位移是两个不同的概念，但

3、它们又互相联系。梁的变形(曲率)仅取决于弯矩和梁的弯曲刚度的大小，位移不仅取决于弯矩和梁的弯曲刚度，还与梁的约束条件有关。二、挠曲线的近似微分方程及其积分Ⅰ、挠曲线的近似微分方程平面曲线在直角坐标系中曲率公式为在小变形时，，于是第26页共26页将此式代入(6-1)式，得到线弹性范围内，小变形情况挠曲线的近似微分方程为(6—2)Ⅱ、通过积分求梁的位移等直梁弯矩不需分段列出时，将(6-2)式积分一次得再积分一次得式中，和为积分常数，由梁的位移边界条件确定。当梁上的弯矩需要分段列出时，挠曲线的近似微分方程也应分段建立，分别积分两次后，每一段有两个积分常数，确定积分常数

4、除了应用位移边界条件外，还需应用位移连续条件。为了简化计算，在运算中需要采取一些技巧(见教材例7-2)。三、用叠加法计算梁的位移Ⅰ、叠加原理在线弹性范围内，小变形情况下，梁在若干个荷载共同作用下任一横截面的位移，等于梁在各个荷载单独作用下的位移之和。Ⅱ、要求利用梁在简单荷载作用下的位移值(见教材表7-1)，确定梁在若干个荷载共同作用下的位移值。叠加法计算梁的位移是本章的重点和难点，要求熟记表7-1的结果，并通过作练习题，掌握利用叠加法计算梁位移的技巧。四、梁的刚度条件提高梁刚度的措施Ⅰ、刚度条件梁的刚度条件为梁的最大挠度与跨长的比值不得超过规定的许可值，梁指定截

5、面的转角不得超过规定的许可值，即，(6—3)Ⅱ、提高梁刚度的措施1.增大梁的弯曲刚度EI。选择适当的截面形状，增加截面对中性轴的惯性矩。2.减小梁的跨度或增加支承。五、弯曲应变能等直梁平面弯曲时，在弹性变形过程中梁内所积蓄的能量，称为弯曲应变能，纯弯曲和横力弯曲时的应变能分别为，(6—4)本章只需掌握弯曲应变能的概念，其应用将放在能量方法一章中。第26页共26页六、超静定梁Ⅰ、超静定的概念梁的约束反力数目超过了平衡方程式的数目，这种梁称为超静定梁。多于维持平衡所必要的约束，称为多余约束，相应的约束反力为多余未知力，多余约束数目或多余未知力数目为超静定次数。Ⅱ、超

6、静定梁的解法解除多余约束使梁成为静定梁，此梁称为原超静定梁的基本系统(或称为静定基)。基本系统在荷载及多余未知力作用下，满足多余约束所提供的位移条件。这样的静定梁称为原超静梁的相当系统，求出多余未知力后，利用相当系统来完成对原超静定梁的一切计算。例6-1用积分法计算图示各梁的位移时，各需分几段列挠曲线的近似微分方程？各有几个积分常数？并写出其确定积分常数的位移边界和连续条件。解：图a分AC、CB两段列挠曲线的近似微分方程，共有四个积分常数。位移边界条件为，，位移连续条件为时，，图b分AB、BC两段列挠曲线的近似微分方程，共有四个积分常数。位移边界条件为，，位移连

7、续条件为时，，图c只需列AB段挠曲线的近似微分方程，共有两个积分常数。位移边界条件为，，第26页共26页图d分AB、BC两段列挠曲线的近似微分方程，共有四个积分常数。位移边界条件为时，，位移连续条件为时，，图e分AB、BC和CD三段列挠曲线的近似微分方程，共有六个积分常数。位移边界条件为时，，，位移连续条件为，时，，中间铰B处，挠曲线连续但不光滑，即中间铰两侧面的挠度相同，但转角不等。例6-2试绘出图示各梁挠曲线的大致形状。解：绘制挠曲线大致形状的步骤为：首先绘制弯矩图，弯矩为正的区段，挠曲线为下凸曲线；弯矩为负的区段挠曲为上凸曲线，弯矩等于零的区段，挠曲线为直

8、线段。弯矩等于零的点处，