欧拉方程求解线性非齐次高阶方程的特解待定系数法

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1、4.3欧拉方程、非齐次高阶线性方程特解的待定系数方法(HowtoSolveEulerequation,UsethemethodofundeterminedcoefficientstofindparticularsolutiontononhomogeneoushigherorderLinearODE)[教学内容]1.介绍欧拉方程及其解法.2.介绍非齐次线性方程特解的待定系数求法.3.介绍非齐次线性方程特解的常数变易法.[教学重难点]重点是知道欧拉方程的特征方程,并能获得原欧拉方程的基本解组;如何运用待定系数法或常数变易法求解非齐

2、次线性方程的特解;难点是如何由非齐次线性方程中的形式合适选择特解的形式.[教学方法]预习1、2、3;讲授1、2、3[考核目标]1.能写出欧拉方程的特征方程的形式2.能由欧拉方程的特征方程的特征根写出原微分方程基本解组;3.知道待定系数法求解非齐次线性方程的特解;4.知道运用常数变易法求解非齐次线性方程的特解.1.认识欧拉方程.(1)称形如为欧拉等量纲方程(Euler’sequi-dimensionalequation),其中p和q都是常数.(2)解法:令自变量替换将原方程化为常系数方程:;;;;因此,原方程化为,这是一个常系数

3、线性微分方程.令代入方程得到,方程为(或),称为欧拉方程的特征方程.由此得到新方程的基本解组为或,或.返回原变量得到欧拉方程的基本解组为或,或.例52.求解微分方程.解:注意到这是一个欧拉等量纲方程,令,得到欧拉方程的特征方程为,解得.于是为二重根.于是得到欧拉方程的基本解组为,返回原变量为,因此原欧拉方程的通解为.例53Findthegeneralsolutionofthefollowingequation:(1);Solution(1)Let,thentheassociatedcharacteristicequationo

4、fEulerequationis.Bysolvingthealgebraicequation,weget.Thentwodependentsolutionstothenewequationis,andfundamentalsolutionstoEulerequationis.Therefore,thegeneralsolutionisgivenby,aretwoindependentvariables.作业47.Findthegeneralsolutionofeachofthefollowingequation:(1);(2)

5、;(3).2.非齐次线性微分方程特解待定系数方法求解(undeterminedcoefficients’method)(1)非齐次线性微分方程通解结构:考察二阶非齐次线性微分方程.若为的基本解组且为原非齐次方程的一个特解,则原非齐次线性方程的通解为其中.(一般地结论参见教材P127定理7)(2)待定系数方法求解非齐次方程的特解例54.求解二阶非齐次方程(1);(2)的一个特解.解:(1)方程的特征方程为,得到.猜想:原方程具有如下形式特解:(原因是经过两次求导最高次数为0,一次求导后最高次数为1,方程两边比较得到C=0),代入

6、方程得到,比较系数得到,得到。因此所求原方程的一个特解为.(2)由题意可设特解形式为,(原因是经过两次求导是常数,不可能等于2t),代入原方程并比较t的系数得到,,得到.因此,所求特解为.小结:考察,,(1)若不是相应齐次方程特征方程的特征根,则可设特解形式为;(2)若是微分方程的特征方程的k重特征根,则可设特解形式为.作业48求方程的通解.例55.求解二阶非齐次方程(1);(2)的通解.解:(1)方程的特征方程为,特征根为.令,则原方程可化为.由上例分析知,新方程具有如下形式特解,于是原方程具有形式特解,,代入原方程得到,,

7、得到.所求特解为.因此,原方程的通解为,.(2)方程的特征方程为,特征根为.令,则原方程可化为.由前面齐次线性方程知识和上例分析知,新方程的特征方程具有零特征根且重数为k=1,于是新方程具有如下形式特解,于是原方程具有形式特解,,代入原方程得到,,得到.所求特解为.作业49求方程(1);(2)的通解.例55.求解二阶非齐次方程(1);(2)的通解.解:(1)方程的特征方程为,得到二重根,于是相应的齐次方程的基本解组为.改写.考察新方程,注意到不是相应齐次方程特征方程的特征根,因此,由上例可设新方程的形式特解为,于是,代入方程得

8、到,,于是,因此特解为.注意到为方程的解,因此,所求方程的一个特解为.因此,原方程的通解为,.(2)方程的特征方程为,得到二重根,于是相应的齐次方程的基本解组为.改写.考察新方程,注意到不是相应齐次方程特征方程的特征根,因此,由上例可设新方程的形式特解为,于是,代入方程得到,

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1、4.3欧拉方程、非齐次高阶线性方程特解的待定系数方法(HowtoSolveEulerequation,UsethemethodofundeterminedcoefficientstofindparticularsolutiontononhomogeneoushigherorderLinearODE)[教学内容]1.介绍欧拉方程及其解法.2.介绍非齐次线性方程特解的待定系数求法.3.介绍非齐次线性方程特解的常数变易法.[教学重难点]重点是知道欧拉方程的特征方程,并能获得原欧拉方程的基本解组;如何运用待定系数法或常数变易法求解非齐

2、次线性方程的特解;难点是如何由非齐次线性方程中的形式合适选择特解的形式.[教学方法]预习1、2、3;讲授1、2、3[考核目标]1.能写出欧拉方程的特征方程的形式2.能由欧拉方程的特征方程的特征根写出原微分方程基本解组;3.知道待定系数法求解非齐次线性方程的特解;4.知道运用常数变易法求解非齐次线性方程的特解.1.认识欧拉方程.(1)称形如为欧拉等量纲方程(Euler’sequi-dimensionalequation),其中p和q都是常数.(2)解法:令自变量替换将原方程化为常系数方程:;;;;因此,原方程化为,这是一个常系数

3、线性微分方程.令代入方程得到,方程为(或),称为欧拉方程的特征方程.由此得到新方程的基本解组为或,或.返回原变量得到欧拉方程的基本解组为或,或.例52.求解微分方程.解:注意到这是一个欧拉等量纲方程,令,得到欧拉方程的特征方程为,解得.于是为二重根.于是得到欧拉方程的基本解组为,返回原变量为,因此原欧拉方程的通解为.例53Findthegeneralsolutionofthefollowingequation:(1);Solution(1)Let,thentheassociatedcharacteristicequationo

4、fEulerequationis.Bysolvingthealgebraicequation,weget.Thentwodependentsolutionstothenewequationis,andfundamentalsolutionstoEulerequationis.Therefore,thegeneralsolutionisgivenby,aretwoindependentvariables.作业47.Findthegeneralsolutionofeachofthefollowingequation:(1);(2)

5、;(3).2.非齐次线性微分方程特解待定系数方法求解(undeterminedcoefficients’method)(1)非齐次线性微分方程通解结构:考察二阶非齐次线性微分方程.若为的基本解组且为原非齐次方程的一个特解,则原非齐次线性方程的通解为其中.(一般地结论参见教材P127定理7)(2)待定系数方法求解非齐次方程的特解例54.求解二阶非齐次方程(1);(2)的一个特解.解:(1)方程的特征方程为,得到.猜想:原方程具有如下形式特解:(原因是经过两次求导最高次数为0,一次求导后最高次数为1,方程两边比较得到C=0),代入

6、方程得到,比较系数得到,得到。因此所求原方程的一个特解为.(2)由题意可设特解形式为,(原因是经过两次求导是常数,不可能等于2t),代入原方程并比较t的系数得到,,得到.因此,所求特解为.小结:考察,,(1)若不是相应齐次方程特征方程的特征根,则可设特解形式为;(2)若是微分方程的特征方程的k重特征根,则可设特解形式为.作业48求方程的通解.例55.求解二阶非齐次方程(1);(2)的通解.解:(1)方程的特征方程为,特征根为.令,则原方程可化为.由上例分析知,新方程具有如下形式特解,于是原方程具有形式特解,,代入原方程得到,,

7、得到.所求特解为.因此,原方程的通解为,.(2)方程的特征方程为,特征根为.令,则原方程可化为.由前面齐次线性方程知识和上例分析知,新方程的特征方程具有零特征根且重数为k=1,于是新方程具有如下形式特解,于是原方程具有形式特解,,代入原方程得到,,得到.所求特解为.作业49求方程(1);(2)的通解.例55.求解二阶非齐次方程(1);(2)的通解.解:(1)方程的特征方程为,得到二重根,于是相应的齐次方程的基本解组为.改写.考察新方程,注意到不是相应齐次方程特征方程的特征根,因此,由上例可设新方程的形式特解为,于是,代入方程得

8、到,,于是,因此特解为.注意到为方程的解,因此,所求方程的一个特解为.因此,原方程的通解为,.(2)方程的特征方程为,得到二重根,于是相应的齐次方程的基本解组为.改写.考察新方程,注意到不是相应齐次方程特征方程的特征根,因此,由上例可设新方程的形式特解为,于是,代入方程得到,

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