4-16 -欧拉方程、求解线性非齐次高阶方程的特解、待定系数法

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1、4.3欧拉方程、非齐次高阶线性方程特解的待定系数方法(HowtoSolveEulerequation,UsethemethodofundeterminedcoefficientstofindparticularsolutiontononhomogeneoushigherorderLinearODE)[教学内容]1.介绍欧拉方程及其解法.2.介绍非齐次线性方程特解的待定系数求法.3.介绍非齐次线性方程特解的常数变易法.[教学重难点]重点是知道欧拉方程的特征方程，并能获得原欧拉方程的基本解组；如何运用待定系数法或常数变易法求解非

2、齐次线性方程的特解；难点是如何由非齐次线性方程中的形式合适选择特解的形式.[教学方法]预习1、2、3；讲授1、2、3[考核目标]1.能写出欧拉方程的特征方程的形式2.能由欧拉方程的特征方程的特征根写出原微分方程基本解组;3.知道待定系数法求解非齐次线性方程的特解；4.知道运用常数变易法求解非齐次线性方程的特解.1.认识欧拉方程.(1)称形如为欧拉等量纲方程（Euler’sequi-dimensionalequation），其中p和q都是常数.(2)解法：令自变量替换将原方程化为常系数方程：；；；；因此，原方程化为，这是一个常

3、系数线性微分方程.令代入方程得到，方程为（或），称为欧拉方程的特征方程.由此得到新方程的基本解组为或，或.返回原变量得到欧拉方程的基本解组为或，或.例52.求解微分方程.解：注意到这是一个欧拉等量纲方程，令，得到欧拉方程的特征方程为，解得.于是为二重根.于是得到欧拉方程的基本解组为，返回原变量为，因此原欧拉方程的通解为.例53Findthegeneralsolutionofthefollowingequation:(1);Solution(1)Let，thentheassociatedcharacteristicequati

4、onofEulerequationis.Bysolvingthealgebraicequation,weget.Thentwodependentsolutionstothenewequationis,andfundamentalsolutionstoEulerequationis.Therefore,thegeneralsolutionisgivenby,aretwoindependentvariables.作业47.Findthegeneralsolutionofeachofthefollowingequation:(1)

5、;(2);(3).2.非齐次线性微分方程特解待定系数方法求解（undeterminedcoefficients’method)（1）非齐次线性微分方程通解结构：考察二阶非齐次线性微分方程.若为的基本解组且为原非齐次方程的一个特解，则原非齐次线性方程的通解为其中.(一般地结论参见教材P127定理7)（2）待定系数方法求解非齐次方程的特解例54.求解二阶非齐次方程(1);(2)的一个特解.解：(1)方程的特征方程为，得到.猜想：原方程具有如下形式特解：（原因是经过两次求导最高次数为0，一次求导后最高次数为1，方程两边比较得到C=

6、0），代入方程得到，比较系数得到，得到。因此所求原方程的一个特解为.(2)由题意可设特解形式为，（原因是经过两次求导是常数，不可能等于2t），代入原方程并比较t的系数得到，，得到.因此，所求特解为.小结：考察，，（1）若不是相应齐次方程特征方程的特征根，则可设特解形式为；(2)若是微分方程的特征方程的k重特征根，则可设特解形式为.作业48求方程的通解.例55.求解二阶非齐次方程(1);(2)的通解.解：(1)方程的特征方程为，特征根为.令，则原方程可化为.由上例分析知，新方程具有如下形式特解，于是原方程具有形式特解，，代入原

7、方程得到，，得到.所求特解为.因此，原方程的通解为，.(2)方程的特征方程为，特征根为.令，则原方程可化为.由前面齐次线性方程知识和上例分析知，新方程的特征方程具有零特征根且重数为k=1，于是新方程具有如下形式特解，于是原方程具有形式特解，，代入原方程得到，，得到.所求特解为.作业49求方程(1);(2)的通解.例55.求解二阶非齐次方程(1);(2)的通解.解：(1)方程的特征方程为，得到二重根，于是相应的齐次方程的基本解组为.改写.考察新方程，注意到不是相应齐次方程特征方程的特征根，因此，由上例可设新方程的形式特解为，于

8、是，代入方程得到，，于是，因此特解为.注意到为方程的解，因此，所求方程的一个特解为.因此，原方程的通解为，.(2)方程的特征方程为，得到二重根，于是相应的齐次方程的基本解组为.改写.考察新方程，注意到不是相应齐次方程特征方程的特征根，因此，由上例可设新方程的形式特解为，于是，代入方程得到，