高考试题分类考点10导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

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1、考点10导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1．（2011·安徽高考文科·Ｔ10）函数在区间上的图象如图所示，则n可能是（　）（A）1（B）2（C）3（D）4【思路点拨】代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案.【精讲精析】选A.代入验证,当n=1时，，则，由=0可知，，结合图象可知函数应在（0，）递增，在递减，即在处取得极大值，由知存在.2.（2011·辽宁高考理科·Ｔ11）函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，，则f（x）＞2x+4的解集为（　）（A）（-1，1）（B）（-1，+）（C）（-，-1）（D）（-，+）【思路点拨】先构造函数，求其

2、导数，将问题转化为求单调性问题即可求解．【精讲精析】选B.构造函数，则，又因为，所以，可知在R上是增函数，所以可化为，即，利用单调性可知，．选B.3．（2011·安徽高考理科·Ｔ10）函数在区间上的图象如图所示，则的值可能是（　）-28-（A）(B)(C)(D)【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n的取值.【精讲精析】选B.函数的导数则在上大于0，在上小于0，由图象可知极大值点为，结合选项可得m=1,n=2.二、填空题4.（2011·广东高考理科·Ｔ12）函数在处取得极小值.【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数

3、的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值时x的值.【精讲精析】由解得或，列表如下：02+0-0+增极大值减极小值增当时，取得极小值.【答案】25．（2011·辽宁高考文科·Ｔ16）已知函数有零点，则的取值范围是【思路点拨】先求，判断的单调性．结合图象找条件．本题只要使的最小值不大于零即可．【精讲精析】=．由得，∴．由得，．∴在处取得最小值．只要即可．∴，-28-∴．【答案】6.（2011·江苏高考·Ｔ12）在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_________【思

4、路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t的表达式，然后考虑单调性求解最值.【精讲精析】设则，过点P作的垂线，，所以，t在上单调递增，在上单调递减，.【答案】三、解答题7．（2011·安徽高考理科·Ｔ16）设，其中为正实数（1）当时，求的极值点；（2）若为上的单调函数，求的取值范围.【思路点拨】（1）直接利用导数公式求导，求极值.（2）求导之后转化为恒成立问题.【精讲精析】对求导得，（1）当令，则.解得，列表得x+0-0+↗极大值↘极小值↗所以，是极小值点，是极大值点.-28-（2）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合与条件a>0,

5、知在R上恒成立，因此并结合a>0,知.8.（2011·福建卷理科·Ｔ18）(本小题满分13分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3

6、式后，可借助导数求最值.【精讲精析】（1）因为时，，所以所以.（2）由（1）可知，该商品每日的销售量所以商场每日销售该商品所获得的利润从而于是，当变化时，的变化情况如下表，40单调递增极大值42单调递减由上表可得，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点.所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.-28-9.（2011·福建卷文科·Ｔ22）已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）.（1）求实数b的值.（2）求函数f（x）的单调区间.（3）当

7、a=1时，是否同时存在实数m和M（m