2抛物线的简单几何性质

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1、2.4.2　抛物线的简单几何性质一、基础过关1．设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，且

2、AB

3、＝1，则A的横坐标的值为(　　)A．－2B．0C．－2或0D．－2或22．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8y3．经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则的值是(　　)A．4B．－4C．p2D．－p24．过抛物线y2＝

4、2px的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1等于(　　)A．45°B．90°C．60°D．120°5．等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则Rt△ABO的面积是(　　)A．8p2B．4p2C．2p2D．p26．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．若x1＋x2＝6，则

5、AB

6、＝________.7．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽_

7、_______m.二、能力提升8.如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若

8、BC

9、＝2

10、BF

11、，且

12、AF

13、＝3，则此抛物线的方程为(　　)A．y2＝xB．y2＝3xC．y2＝xD．y2＝9x9．已知△ABC的三个顶点都在y2＝32x上，A(2,8)，且这个三角形的重心与抛物线的焦点重合，则直线BC的斜率是________．10．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．11．线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A

14、、B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线．求抛物线的方程．12．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

15、AB

16、＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．三、探究与拓展13．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦．求证：(1)y1y2＝－p2；x1x2＝；(2)＋＝；(3)以AB为直径的

17、圆与抛物线的准线相切．答案1．B　2.C　3.B　4.B　5.B6．87．28．B　9．－410．解　如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2.又OA＝OB，所以x＋y＝x＋y，即x－x＋2px1－2px2＝0.整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.∵x1>0，x2>0,2p>0，∴x1＝x2.由此可得

18、y1

19、＝

20、y2

21、，即线段AB关于x轴对称．由此得∠AOx＝30°，∴y1＝x1.与y＝2px1联立，解得y1＝2p，∴AB＝2y1＝4p.

22、11．解　画图可知抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，直线AB的方程为x＝ky＋m，由消去x，整理得y2－2pky－2pm＝0，由根与系数的关系得y1y2＝－2pm，由已知条件知

23、y1

24、·

25、y2

26、＝2m，从而p＝1，故抛物线方程为y2＝2x.12．解　(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，由抛物线定义得

27、AB

28、＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，抛物线方程为y2＝8x.(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0，化简得x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，

29、y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)．设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(1＋4λ，－2＋4λ)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.13．证明　如图所示．(1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程：x＝－.设直线AB的方程为x＝ky＋，把它代入y2＝2px，化简，得y2－2pky－p2＝0.∴y1y2＝－p2，∴x1x2＝·＝＝＝.(2)根据抛物线定义知

30、FA

31、＝

32、AA1

33、＝x1＋，

34、FB

35、＝

36、BB1

37、＝x2＋，∴＋＝＋＝＋＝＝＝＝.(

38、3)设AB中点为C(x0，y0)，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，C1.则

39、CC1

40、＝·(

41、AA1

42、＋

43、BB1

44、)＝(

45、AF

46、＋

47、BF

48、)＝·

49、AB

50、.∴以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切．