数学分析》10第三章函数极限

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1、《数学分析》教案第三章函数极限u引言在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。例如，数列这种变量即是研究当时，的变化趋势。我们知道，从函数角度看，数列可视为一种特殊的函数，其定义域为，值域是，即;或　或.研究数列的极限，即是研究当自变量时，函数变化趋势。此处函数的自变量n只能取

2、正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即。但是，如果代之正整数变量n而考虑一般的变量为，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于一种呢？为此，考虑下列函数:类似于数列，可考虑自变量时，的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势,由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化。但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。下面，我们就依次讨论这些

3、极限。§1　　函数极限的概念一、时函数的极限１．引言设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ。这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。例如　　无限增大时，无限地接近于０；无限增大时，无限地接近于；无限增大时，与任何数都不能无限地接近。正因为如此，所以才有必要考虑时，的变化趋势。我们把象，这样当时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当时有极限Ａ”。《数学分析》教案[问题]如何给出它的精确定义呢?类似于数列,当时函数极限的精确定义如下.2.时函数极限的定

4、义定义１　设为定义在上的函数，Ａ为实数。若对任给的，存在正数Ｍ，使得当时有,则称函数当时以Ａ为极限。记作或.３．几点注记（１）定义１中作用与数列极限中作用相同，衡量与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数，而不仅仅是正整数n。（２）的邻域描述：当时，（３）的几何意义：对，就有和两条直线，形成以Ａ为中心线，以为宽的带形区域。“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域内。如果给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使

5、得曲线在的右边的全部落在这个更窄的带形区域内。（４）现记为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近于常数Ａ，则称当或时时以Ａ为极限，分别记作，　　　　　或，　　　　　或。这两种函数极限的精确定义与定义１相仿，简写如下：当时，，当时，。（５）推论：设为定义在上的函数，则。４．利用＝Ａ的定义验证极限等式举例例１　证明　.例２　证明　　１）；２）.《数学分析》教案二、时函数的极限１．引言上节讨论的函数当时的极限，是假定为定义在上的函数，这事实上是，即为定义在上，考虑时是否趋于某个定数Ａ。本节假定为定义在点的某个空心邻域内的函数，。现在

6、讨论当时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列。先看下面几个例子：例１　.（是定义在上的函数，当时，）例２　.（是定义在上的函数，当时，）例３　.（是定义在上的函数，当时，）由上述例子可见，对有些函数，当时，对应的函数值能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质。所以有必要来研究当时，的变化趋势。我们称上述的第一类函数为当时以Ａ为极限，记作。和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法。不是严格的数学定义。那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量越来越接近于时，函数值越来越接近于一个定数Ａ”只要充分接近，函数值和Ａ

7、的相差就会相当小欲使相当小，只要充分接近就可以了。即对，当时，都有。此即。２．时函数极限的定义定义２　设函数在点的某个空心邻域内有定义，Ａ为定数，若对任给的，使得当时有，则称函数当趋于时以Ａ为极限（或称Ａ为时的极限），记作或（.３．说明如何用定义来验证这种类型的函数极限４．函数极限的定义的几点说明：（１）是结论，是条件，即由推出。（２）是表示函数与Ａ的接近程度的。为了说明函数在《数学分析》教案的过程中，能够任意地接近于Ａ，必须是任意的。这即的第一个特性——任意性，即是变量；但一经给定之后，暂时就把看作是不变的了。以便通过寻找，使得当时

8、成立。这即的第二特性——暂时固定性。即在寻找的过程中是常量；另外，若是任意正数，则均为任意正数，均可扮演的角色。也即的第三个特性——多值性；（）(3)是表示与的接近程度，它相当于数列极限的定义中的Ｎ。它的第一个特性是相应