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1、《数学分析》教案《数学分析》教案第三章函数极限引言在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。例如，数列an这种变量即是研究当n时，an的变化趋势。我们知道，从函数角度看，数列an可视为一种特殊的函数f,其定义域为N，值域是an,即f:NR(nan);或f(n)an,nN或f(n)an.研
2、究数列an的极限，即是研究当自变量n时，函数f(n)变化趋势。此处函数f(n)的自变量n只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n。但是，如果代之正整数变量n而考虑一般的变量为xR,那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于x一种呢？1,x0;f(x)’0,x0.时，f(x)的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量x时，f(x)为此，考虑下列函数：类似于数列，可考虑自变量x的变化趋势；还可考虑自变量x时，f(x)的变化趋势；还可考虑自变量xa时，f(x)的变化趋势L由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根
3、源在于自变量性质的变化。但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。下面，我们就依次讨论这些极限。§1函数极限的概念一、x时函数的极限1.引言设函数定义在［a,)上，类似于数列情形，我们研究当自变量x时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数A。这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。一，_1__例如f(x)一,x无限增大时，f(x)无限地接近于o；g(x)arctgx,x无限增大时，f(x)无限地x接近于一；h(x)x,x无限增大时，f(x)与任何
4、数都不能无限地接近。正因为如此，所以才有必要考虑2x时，f(x)的变化趋势。我们把象f(x),g(x)这样当x时，对应函数值无限地接近于某个定数A的函数称为“当x时有极限A”。《数学分析》教案［问题］如何给出它的精确定义呢？类似于数列，当x时函数极限的精确定义如下.1.X时函数极限的定义定义1设f为定义在［a,)上的函数，A为实数。若对任给的0,存在正数m(a),使得当xM时有
5、f(x)A
6、,则称函数f当x时以A为极限。记作Jimf(x)A或f(x)A(x).2.几点注记(1)定义1中作用与数列极限中作用相同，衡量f(x)与A的接近程度，正数M
7、的作用与数列极限定义中N相类似，表明x充分大的程度；但这里所考虑的是比M大的所有实数x,而不仅仅是正整数n。(2)limf(x)A的邻域描述：，U(上当xU()时，f(x)U(A;).x(3)Jmf(x)A的几何意义：对，就有yA和yA两条直线，形成以A为中心线，以2为宽的带形区域。“当xM时有
8、f(x)A
9、”表示：在直线xM的右方，曲线yf(x)全部落在这个带形区域内。如果给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线xM一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数M,使得曲线yf(x)在xM的右边的全部落在这个更窄的带形区域内。(4)现记f为定义
10、在U()或U()上的函数，当x或x时，若函数值f(x)能无限地接近于常数A,则称f当x或x时时以A为极限，分别记作,limf(x)A或f(x)A(x),xlimf(x)A或f(x)A(x)。x这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，简写如下：limf(x)A0,M0,当xM时，
11、f(x)A
12、,xlimf(x)A0,M0,当
13、x
14、M时，
15、f(x)A
16、。(5)推论：设f(x)为定义在U()上的函数，则limf(x)Alimf(x)limf(x)A。xxx3.利用limf(x)=A的定义验证极限等式举例x1例1证明lim—0.xx例2证明1)limar
17、ctgx—；2)limarctgx—.X0时函数的极限1.引言上节讨论的函数f当X时的极限，是假定f为定义在［a,)上的函数，这事实上是U()，即《数学分析》教案f为定义在U()上，考虑X时f(x)是否趋于某个定数A。本节假定f为定义在点X0的某个空心邻域U0X0内的函数，。现在讨论当XXo(XXo)时，对应的函数值能否趋于某个定数A数列。先看下面几个例子：例1f(x)1(x0).(f(X)是定义在U0(0)上的函数，当X0时，f(x)1)X24例2f(x).(f(x)是定义在U0(2)上的函数，当x2时，f(x)4)x2一1例3f(x)—.(
18、f(x)是定义在U0(0)上的函数，当x0时，f(x)?)X由上述例子可见，对有些函数，当XX0(XX0)时，对应的函数值f(x)能趋于某个定数A;但
