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《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.3 椭圆的简单性质(1)课时作业 北师大版选修1-1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.1.3椭圆的简单性质(1)一、选择题1.椭圆6x2+y2=6的长轴端点坐标为( )A.(-1,0),(1,0)B.(-6,0),(6,0)C.(-,0),(,0)D.(0,-),(0,)解析:方程化为标准形式为x2+=1,其焦点在y轴上,由于a2=6,∴a=.∴长轴的端点坐标为(0,±),故选D.答案:D 2.曲线+=1与曲线+=1(k<9)的( )A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析:由题意可知两个椭圆的焦点都在x轴上,前者焦距2c=2=8,后者焦距2c=2=8.答案:D 3.已知椭圆的中心在坐标
2、原点,焦点在x轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆的方程是( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析:由2a=12,=,解得a=6,c=2,∴b2=62-22=32.∵焦点在x轴上,∴椭圆的方程为+=1.答案:D 4.[2014·山东省济南一中月考]已知椭圆+=1的上焦点为F,直线x+y-1=0和x+y+1=0与椭圆分别相交于点A、B和C、D,则
3、AF
4、+
5、BF
6、+
7、CF
8、+
9、DF
10、=( )A.2B.4C.4D.8解析:本题考查椭圆定义的应用.如图,设F1为椭圆的下焦点,两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点,连接AF
11、1,FD.由椭圆的对称性可知,四边形AFDF1为平行四边形,∴
12、AF1
13、=
14、FD
15、,同理
16、BF1
17、=
18、CF
19、,∴
20、AF
21、+
22、BF
23、+
24、CF
25、+
26、DF
27、=
28、AF
29、+
30、BF
31、+
32、BF1
33、+
34、AF1
35、=4a=8,故选D.答案:D 二、填空题5.若椭圆的焦点在y轴上,长轴长为4,离心率e=,则其标准方程为__________.解析:依题意,得a=2,e==,所以c=,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆的标准方程为:+x2=1.答案:+x2=16.已知点P(3,4)在椭圆+=1(a>b>0)上,则以P为顶点的椭圆的内接矩形PABC的面积是
36、________.解析:由对称性知矩形PABC的长与宽分别为6,8,故S=48.答案:487.[2014·江苏省南京师大附中月考]过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为_______.解析:本题主要考查椭圆的离心率.由题意,△PF1F2为直角三角形,且∠F1PF2=60°,所以
37、PF2
38、=2
39、PF1
40、.设
41、PF1
42、=x,则
43、PF2
44、=2x,
45、F1F2
46、=x,又
47、F1F2
48、=2c,所以x=.即
49、PF1
50、=,
51、PF2
52、=.由椭圆的定义知,
53、PF1
54、+
55、P
56、F2
57、=2a,所以+=2a,即e==.答案:三、解答题8.求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的5倍,且过点A(5,0).(2)离心率e=,焦距为12.解:(1)若椭圆焦点在x轴上,设其标准方程为+=1(a>b>0),由题意得解得故所求椭圆的标准方程为+y2=1.若焦点在y轴上,设其标准方程为+=1(a>b>0),由题意,得解得故所求椭圆的标准方程为+=1.综上所述,所求椭圆的标准方程为+y2=1或+=1.(2)由e==,2c=12,得a=10,c=6,∴b2=a2-c2=64.当焦点在x轴上时,所求椭圆的标准方
58、程为+=1;当焦点在y轴上时,所求椭圆的标准方程为+=1.综上所述,所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.9.如右图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若=2,·=,求椭圆的方程.解:(1)若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有
59、OA
60、=
61、OF2
62、,即b=c.所以a=c,e==.(2)由题知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中,c=,设B(x,y).由=2⇔(c,-b)=
63、2(x-c,y),解得x=,y=-,即B(,-).将B点坐标代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3c2.①又由·=(-c,-b)·(,-)=⇒b2-c2=1,即有a2-2c2=1.②由①,②解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆方程为+=1.
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