高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.4 椭圆的简单性质（2）课时作业 北师大版选修1-1

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1、2.1.4椭圆的简单性质（2）一、选择题1.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是(　　)A.＋＝1　　　　　　B.＋＝1C.＋y2＝1D.＋＝1解析：由x2＋y2－2x－15＝0，知r＝4＝2a⇒a＝2.又e＝＝，c＝1.故b2＝a2－c2＝4－1＝3.故选A.答案：A　2.已知椭圆＋＝1(m>0)，若直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m等于(　　)A.2B.C.2D.解析：由题意设半焦距为c，易知点M(c，c)，∵点M又在椭圆上，∴＋＝1　①.又c2＝16－m2　②

2、，由①②联立解得m2＝8，∴m＝2.答案：A　3.把离心率等于黄金比的椭圆称为优美椭圆，设椭圆＋＝1(a>b>0)为优美椭圆，已知F，A分别是它的左焦点和右顶点，B是短轴的一个端点，则∠ABF等于(　　)A.30°B.45°C.60°D.90°解析：设椭圆的半焦距为c，∵e＝是方程x2＋x－1＝0的一个根，∴e2＋e－1＝0，即()2＋－1＝0，c2＋ac－a2＝0.不妨设B为上顶点，则F(－c,0)，A(a,0)，B(0，b)，∴·＝b2－ac＝a2－c2－ac＝0，∴FB⊥AB，即∠ABF＝90°.答案：D　4.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆

3、上的任意一点，则·的最大值为(　　)A.2B.3C.6D.8解析：由椭圆＋＝1可得点F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3(1－)＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.答案：C　二、填空题5.已知点A，B是椭圆＋＝1(m>0，n>0)上的两点，且＝λ，则λ＝________.解析：由＝λ知点A，O，B共线，因椭圆关于原点对称，∴λ＝－1.答案：－16.焦点在x轴上，长轴长为20，短轴长为16的椭圆的内接矩形中面积最大的矩形周长为________．解析：由题意a＝10，b＝8，设内接矩

4、形ABCD位于第一象限的顶点为A(x0，y0)，则有＋＝1，且S矩形ABCD＝4x0y0.由于xy＝x(1－)×64＝x(100－x)≤2＝1600，当且仅当x＝100－x，即x＝50时“＝”成立．此时y＝32，即当x0＝5，y0＝4时，椭圆的内接矩形面积最大，这时内接矩形周长为：4(x0＋y0)＝36.答案：367.横跨北京动物园上空的“隔音隧道”为半椭圆形隔音钢架结构，隧道内为双向四车道，车道总宽20米，限制通行车辆的高度不超过4米，隧道正中是一面7米高的隔板，两侧各有两个车道，根据以上信息，请你计算出隧道设计的拱宽(椭圆长轴)至少________米．(≈5.7，结

5、果精确到分米)解析：由题意，椭圆短半轴长b＝7，设椭圆方程为＋＝1(a>7)，易知点(10,4)在椭圆上，∴＋＝1，则a2＝，a＝，∴2a＝≈24.6.答案：24.6三、解答题8.如图，已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两个点，M是椭圆上的动点，求

6、MA

7、＋

8、MB

9、的最大值和最小值．解：由＋＝1得a＝5，b＝3，c＝4，点A(4,0)为椭圆的一个焦点，另一个焦点F(－4,0)，∴

10、MA

11、＋

12、MF

13、＝2a＝10，∴

14、MA

15、＋

16、MB

17、＝10－

18、MF

19、＋

20、MB

21、，在△BMF中，两边之差的绝对值小于第三边，且

22、BF

23、＝2，∴－2＝－

24、FB

25、≤

26、MB

27、－

28、MF

29、≤

30、F

31、B

32、＝2，当M、F、B三点共线时取等号．∴10－2≤

33、MA

34、＋

35、MB

36、≤10＋2，∴最小值为10－2，最大值为10＋2.9.已知F1,F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆短轴长有关．解：(1)不妨设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由余弦定理得cos60°＝＝，∴

37、PF1

38、·

39、PF2

40、＝4a2－2

41、PF1

42、·

43、PF2

44、－4c2，∴3

45、PF1

46、·

47、PF2

48、＝4b2，∴

49、PF1

50、·

51、PF2

52、＝b2，又∵

53、PF1

54、·

55、PF2

56、≤()2＝a2，(当且仅当

57、PF1

58、＝

59、PF2

60、时取“＝”)∴

61、3a2≥4(a2－c2)，∴≥，∴e≥.又∵椭圆中0

62、PF1

63、·

64、PF2

65、＝b2，∴S△F1PF2＝

66、PF1

67、·

68、PF2

69、sin60°＝×b2×＝b2，∴△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．