高中数学 5.4 几个著名的不等式 5.4.2 排序不等式同步测控 苏教版选修4-5

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1、5.4.2排序不等式同步测控我夯基，我达标1.已知a、b、c∈R+,则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小为()A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2aB.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2aC.a3+b3+c30,则a2≥b2≥c2,∴a2b+b2c+c2a≤a3+b3+c3.答案:B2.已知a、b、c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情况为()A.大于零B.大于等于零C.小于零D.小于等于零解析:不妨设a≥b≥c>0,则a2≥b2≥

2、c2,ab≥ac≥bc.∴a4+b4+c4=a2·a2+b2·b2+c2·c2≥a2b2+b2c2+c2a2=(ab)·(ab)+(bc)·(bc)+(ac)·(ac)≥(ab)·(ac)+(ac)·(bc)+(bc)·(ab)=a2bc+abc2+ab2c.∴a4-a2bc+b4-ab2c+c4-abc2≥0,即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.答案:B3.设x1,x2,…,xn是不同的正整数,则m=+…+的最小值是()A.1B.2C.1+++…+D.1+++…+解析:∵x1,x2,…,xn是不同的正整数,设b1,b2,…,bn是x1,x2,…,xn的

3、一个排列且b1≤b2≤b3≤…≤bn,则b1≥1,b2≥2,…,bn≥n.又∵>>…>,∴m=≥≥1+++…+.答案:C4.已知,则()A.2b>2a>2cB.2a>2b>2cC.2c>2b>2aD.2c>2a>2b解析:∵<<,∴b>a>c.∴2b>2a>2c.答案:A5.设b、c为互不相等的正整数,则的最小值为()A.B.C.1D.解析:∵b、c为互不相等的正整数,若bc,则b≥2,c≥1,又∵>,∴≥≥=.∴最小值为.答案:B6.若a、b、c为实数,则a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小关系为_______________.解析:不妨

4、设a≥b≥c,则ab+bc+ca≤a·a+b·b+c·c=a2+b2+c2.答案:a2+b2+c2≥ab+bc+ca7.比较a4+b4与a3b+ab3的大小关系为_______________.解析:不妨设a≥b,则a3≥b3,∴a4+b4≥a3b+b3a.答案:a4+b4≥a3b+ab3我综合，我发展8.若a、b为正数,则+与的大小关系为_______________.解析:不妨设a≥b>0,则a3≥b3>0,∴≤.∴·a+·b≤,即+≤.答案:+≤9.若a、b为正数,则-a2与b2-的大小关系为_______________.解析:不妨设a≥b>0,则a2≥b2>0,≥>0,a4

5、≥b4>0.∴≥=a2+b2.∴-a2≥b2-.答案:-a2≥b2-10.设a、b、c都是正数,求证:++≥.证明:不妨设a≥b≥c>0,则a+b≥a+c≥b+c>0,∴≤≤.∴≥,≥.两式相加,得2()≥3,即≥成立.11.设a、b、c∈R+,求证:++≤.分析:本题可多次利用排序不等式证明,不等式的右边=.证明:不妨设a≥b≥c>0,则≥≥.∴≥≥,且a5≥b5≥c5.∴≥.∵a≥b≥c>0,∴a2≥b2≥c2,.∴≥∴≥++成立.我创新，我超越12.设a+b>0,n为偶数,求证:+≥+.分析:本题将an-1与bn-1交换一下就得到右边,可用排序不等式解答,情况不定可分类讨论.证

6、明:∵a+b>0,∴a>-b,共有四种情况.(1)当a≥b>0时,an≥bn>0,an-1≥bn-1,∴≤.∴≤,即≥+成立.(2)当b≥a>0时,bn≥an>0,bn-1≥an-1,∴≤.∴≤,即≥+.(3)当a>-b>0时,∵n为偶数,∴an>(-b)n=bn>0,且a>b.∴an-1>bn-1,且<.∴≥(4)当0>a>-b时,则b>-a>0,∵n为偶数,∴bn>(-a)n=an>0且bn-1>an-1.∴>.∴≤,即≥+.综上,≥+.13.设x1≥x2≥…≥xn,y1≥y2≥…≥yn,z1,z2,…,zn是y1,y2,…,yn的任意一个排列,求证:≤.分析:本题可利用排序不等

7、式解答,要证≤成立,只需证-≤-,由排序不等式证明出.证明:∵x1≥x2≥…≥xn,y1≥y2≥…≥yn,z1,z2,…,zn是y1,y2,…,yn的任意一个排列,∴x1y1+x2y2+…+xnyn≥x1z1+x2z2+…+xnzn,即∴且x12+y12+x22+y22+…+xn2+yn2=x12+z12+x22+z22+…+xn2+zn2.∴即成立.