高中数学教案《幂函数

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1、幂函数教学目标1．知识目标（1）了解幂函数的概念；（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；（3）了解幂函数图象的变化情况和性质。 2．能力目标（1）培养学生观察分析归纳能力；（2）培养学生概括抽象和识图能力；（3）培养学生数形结合的意识和思想。3．情感目标    培养学生合作、交流、探究的意识品质，激发学生的学习兴趣和学习欲望。教学重点 从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质教学难点 幂函数的图象和性质的总结教学用具 多媒体平台，几何画板课件教学过程【导入新课】回答下列问题1．如果张红买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数

2、p（元）和购买的蔬菜的量w（千克）之间有何关系？2．如果正方形的边长a，那么其面积S如何表示？3．如果正方体的边长为a，那么它的体积V如何表示？4．如果正方形的面积为S，则它的边长a如何表示？5．某人在t秒内骑车行进了1千米，那么他骑车的平均速度v为多少？答：【推进新课】提出问题问1：上述问题中的五个函数关系式从结构上看有什么共同的特点？是否为指数函数？提示：用x表示自变量，用y表示函数值，上述函数式变成：以下五个函数它们都是形如的函数。从而给出幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数(powerfunction)，其中x是自变量，α是常数。练习：判别下列函

3、数中哪些是幂函数①y=②y=2x2③y=x④y=x2+x⑤y=-x3⑥解：①y=的底数是，因此不是幂函数；②的变量的系数是2，因此不是幂函数；③y=x的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数；④y=x2+x变量是和的形式，因此不是幂函数；⑤y=-x3的变量的系数为-1，因此不是幂函数；⑥的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数。 思考：（1）幂函数与指数函数有什么联系和区别？（2）幂函数具有哪些性质？研究函数应该从哪些方面考虑？前面指数函数、对数函数研究了哪些内容？是如何研究的？（根据图象研究函数的性质，由具体到一般；一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇

4、偶性；有时也通过画函数的图象，从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，研究幂函数也如此）（3） 幂函数的定义域是否与对数函数、指数函数一样，具有相同的定义域？.例1．写出下列函数的定义域，并指出奇偶性：①y=x②y=③y=x④y=x探究：（1）怎样便于看出幂函数的定义域？（分数指数应化成根式，负指数写成正数指数再写出定义域。）（2）观察幂函数的定义域对其奇偶性有什么影响？只要幂函数的定义域是关于原点对称的（或者说定义域中有负数），则其一定具有奇偶性。【动手实践】画出五个函数的图象，完成下列表格 定义域     值域     奇偶性   

5、  单调性     共同点     图象分布学生利用描点法在同一坐标系中画出五个函数图象，然后教师利用几何画板将五个函数的图象用追踪点的方法展示。完成表格： 定义域R R R   值域R  R   奇偶性奇 偶奇 非奇非偶 奇 单调性在第Ⅰ在第Ⅰ象限单调递增  在第Ⅰ在第Ⅰ象限单调递增   在第Ⅰ象限单调递增减象限单调递增 象限单调递增  共同点（1，1） （1，1）（1，1） （1，1） （1，1） 图象分布第Ⅰ、Ⅲ象限第Ⅰ、Ⅱ象限第Ⅰ、Ⅲ象限第Ⅰ象限第Ⅰ、Ⅲ象限设问：（1）上述函数有哪些共同特点？当指数为正数时，如（1）图象都过点（0,0）和（1,1

6、）；（2）在［0,＋∞）上是增函数。当指数为负数时，如（1）图象过点（1,1）；（2）在（0,＋∞）上是减函数。（2）通过对以上五个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象，这时可以通过什么途径来判断？答：第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有，也可能没有图象，这时可以通过幂函数的定义域和奇偶性来判断。【类比联想、拓展探究】我们研究的几个常见的幂函数的性质，是否也适合其他的幂函数，一般的幂函数怎样去研究它的性质呢？让同学们讨论、猜想一般的幂函数的图象和性质

7、老师用几何画板画出函数在第一象限内的图象，改变α的值，让学生观察、分析所得的函数图象，在动态的变化过程中，让学生了解幂函数的本质和共性。从而给出幂函数的性质：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（2）当α>0时，图象过（0,0），（1,1），并且在[0，+∞）上是增函数；特别地，当α＞1时，的图象都在的下方，形状向下凸，α越大，下凸的程度越大；当0＜α＜1时的图象都在的上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大；（3）α<0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）是减函数，与坐标轴无交点；（4）其他象限内的图象可以通过函数的定义域和

8、奇偶性得出。例2：比较下列各组中两个值的大小，并说明理由：①0.75，0.76；