高数上练习题(部分参考答案与提

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1、高等数学（上）基本概念与基本计算练习题(参考答案)一．求极限1.解：（毕）2.解：（毕）3.解：（毕）4.解：（毕）解：（毕）6．解：（毕）7．解：（毕）158.解：（毕）二．函数的连续性与间断点1.解：因为对数函数是初等函数，所以该函数的定义域就是该函数的连续区间。即：为连续区间。（毕）2．解：该函数为初等函数，且在点处无定义。因此，这三点就是该函数的间断点。又，所以为该函数的可去间断点；函数在点处，左右极限存在但不相等，所以为跳跃型间断点；所以为无穷间断点。（毕）15讨论：，，又因为因此函数在点处，只是右连续而非左连续。故函数在点处是间断的

2、；为第一类跳跃间断点。（毕）解：只需选择使函数在点处连续即可。因为：，，又由。即：当时，函数为连续函数。（毕）15证明：设：，因为函数在区间上连续，又。所以方程在区间至少有一个根。即：（毕）证明：设：，则依题设在区间上连续。当时，只需取即可；当时，因为由连续函数的中介值定理可知，至少存在一点使成立。综上所述，（毕）三．求导数与求微分解：（毕）15解：（毕）解：又所以，（毕）解：（毕）15解：因为，函数在点处可导的必要条件是：函数在点处连续。所以有即：当函数在点处可导时。（毕）（或用下列方法求极限）解：切线方程：法线方程：又15所以：切线方程：；

3、法线方程：（毕）解：两边对求导得：将代入得即所以,切线方程：;法线方程：(毕)解：因为当时，切线方程：法线方程：又：所以，切线方程：,；法线方程：,。（毕）15三．利用导数研究函数的性质1.结论：函数的单调增区间为函数的单调减区间为，其极大值为，其极小值为2.结论：曲线在内为凹，曲线在内为凸的；为拐点。3。解：是可微的，由极值的必要条件可得：又，解方程组，得：。结论：其极大值为，其极小值为4.解：且：依题设，应有解方程组15结论：曲线在内为凹，曲线在内为凸的；5.结论：是函数f(x)在内唯一的极小值点,从而也是f(x)在该区间上的最小值点;且6

4、.（提示：设）提示：令，令得故在内单调增.也即由此便知.即在内单调增.提示：令，①证明在内单调增②证明在内满足零点定理；则有且仅有一个正根。9.求函数在上的最大值与最小值.提示：①求导，证明在内单调增则，15三．求不定积分与定积分1.解：（毕）解：（毕）解：（毕）解：（毕）解：（毕）解：（毕）解：15（毕）解：（毕）9.已知的一个原函数是,求解：（毕）10．已知,计算提示：（毕）11.判断下列反常积分的收敛性，若收敛，计算其值。15提示：（1）为瑕点，又；故反常积分发散。（2）故反常积分收敛,其值为;六．定积分的应用提示：提示：提示：4.提示：

5、提示：6．过点，坐曲线的切线，此切线与曲线和y=0围成一块平面图形。（1）求该平面图形的面积；（2）求该平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积；（3）求该图形边界曲线的弧长。15提示：①设切点，求切线方程。得切点；切线方程②面积或③体积七．微分方程1.求方程：的通解和满足初始条件：的特解。提示：分离变量得两边积分得通解(C为任意常数)2.求方程:的通解.提示：①按可分离变量方程求解┅┅②按一阶线性方程求解（用常数变易法或用公式法）常数变易法：先求的通解；即将代入原方程得，即从而得原方程通解为3.提示：此为一阶线性方程求特解（用常数变易法或用公式法）其

6、中15①常数变易法：先求的通解；即将代入原方程得，即从而得原方程通解为所求方程的特解为②或直接利用公式：4.验证：是方程的解，并求该方程的通解。提示：①先验证是方程的解②验证线性无关，即③该方程的通解为(为任意常数)5.求下列方程的通解1)2）3）提示：1）特征方程为，其根为对应齐次方程的通解为2）特征方程为，其根为对应齐次方程的通解为3）特征方程为，其根为对应齐次方程的通解为156.求下列方程的通解1)2）3）提示：非齐次方程的通解=对应的齐次方程通解+非齐次方程一个特解1）特征方程为，其根为对应齐次方程的通解为特解形式为，代入原方程得因此特

7、解为原方程的通解为2）特征方程为，其根为对应齐次方程的通解为特解形式为代入原方程得,因此特解为原方程的通解为3）特征方程为，其根为对应齐次方程的通解为特解形式为，代入原方程得因此特解为原方程的通解为15