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1、3.1第3课时空间向量的数量积运算一、选择题1.已知向量a、b是平面α的两个不相等的非零向量,非零向量c是直线l的一个方向向量,则c·a=0且c·b=0是l⊥α的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 当a与b不共线时,由c·a=0,c·b=0,可推出l⊥α;当a与b为共线向量时,由c·a=0,c·b=0,不能够推出l⊥α;l⊥α一定有c·a=0且c·b=0,故选B.2.如图,空间四边形的各边和对角线长均相等,E是BC的中点,那么( )A.·<·B.·=·C.·>·D.·与·不能比较大小[答案] C[解析]
2、易知AE⊥BC,∴·=0,·=(+)·=·(-)+·=
3、
4、·
5、
6、·cos120°-
7、
8、·
9、
10、cos60°+
11、
12、·
13、
14、cos120°<0.3.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么
15、a+3b
16、( )A. B. C. D.4[答案] C[解析]
17、a+3b
18、2=(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=
19、a
20、2+6
21、a
22、
23、b
24、cos+9
25、b
26、2,∵
27、a
28、=
29、b
30、=1,〈a,b〉=60°,∴
31、a+3b
32、2=13,∴
33、a+3b
34、=.4.已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,设=a,=b,=c,则〈,〉=( )A.30°B.60°C.90
35、°D.120°[答案] D[解析] =,∵△A′BD为正三角形,∴〈,〉=120°.5.已知PA⊥平面ABC,垂足为A,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于( )A.6 B.6 C.12 D.144[答案] C[解析] ∵=++,∴2=2+2+2+2·=36+36+36+2×36cos60°=144.∴
36、
37、=12.6.已知a、b、c是两两垂直的单位向量,则
38、a-2b+3c
39、=( )A.14 B. C.4 D.2[答案] B[解析]
40、a-2b+3c
41、2=
42、a
43、2+4
44、b
45、2+9
46、c
47、2-4a·b+6a·c-12b·c=14,∴选B.7.
48、已知
49、a
50、=2,
51、b
52、=3,〈a,b〉=60°,则
53、2a-3b
54、等于( )A.B.97C.D.61[答案] C[解析]
55、2a-3b
56、2=4a2+9b2-12a·b=4×4+9×9-12×
57、a
58、
59、b
60、cos60°=97-12×2×3×=61.8.空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则cos〈,〉等于( )A.B.C.-D.0[答案] D[解析] cos〈,〉====.因为
61、
62、=
63、
64、,∠AOC=∠AOB=,所以cos〈,〉=0.9.在空间四边形ABCD中,AB、AC、AD两两垂直,则下列结论不成立的是( )A.
65、++
66、=
67、+-
68、B.
69、++
70、2=
71、
72、
73、2+
74、
75、2+
76、
77、2C.(++)·=0D.·=·=·[答案] C[解析] A中,由
78、++
79、=
80、+-
81、,得(++)2=(+-)2,展开得(+)2+
82、
83、2+2(+)·=(+)2+
84、
85、2-2(+)·,整理得(+)·=0,因为,,两两垂直,所以(+)·=0成立,因此A正确.易得B正确.(++)·=(++)·(-)=·-
86、
87、2+·-·+
88、
89、2-·=
90、
91、2-
92、
93、2,当
94、
95、=
96、
97、时,
98、
99、2-
100、
101、2=0,否则不成立,因此C不正确.D中,·=·(-)=·-·=0,同理·=0,·=0,因此D正确.10.设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD是( )A.钝
102、角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定[答案] B[解析] =-,=-,·=(-)·(-)=·-·-·+
103、
104、2=
105、
106、2>0,∴cos∠CBD=cos〈,〉=>0,∴∠CBD为锐角,同理,∠BCD与∠BDC均为锐角,∴△BCD为锐角三角形.二、填空题11.已知
107、a
108、=2,
109、b
110、=,a·b=-,则〈a,b〉=________.[答案] [解析] cos〈a,b〉==-,∴〈a,b〉=.12.已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1,设=a,=b,=c,则(1)·=________;〈,〉=________;(2)·=________.[答案] (1)1,arcc
111、os (2)1[解析] (1)·=(a+b+c)·(a-b+c)=a2+c2+2a·c-b2=1,
112、
113、2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=3,∴
114、
115、=,
116、
117、2=(a-b+c)2=a2+b2+c2-2a·b+2a·c-2b·c=3,∴
118、
119、=,∴cos〈,〉==,∴〈,〉=arccos.(2)·=(b+c-a)·b=
120、b
121、2+b·c-b·a=1.13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则·=________.[答案] a2[解析] ·=·=
122、
123、·
124、
125、·cos〈,〉=a×a×cos60