高等数学练习题(1)

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1、1．，>0可写为2．可写为3．极限的定义4．使用夹逼准则时，将函数（或数列）放大与缩小成一个新的函数（或数列），而新的与原来的只差一个无穷小量。5.单调有界准则：单调有界数列必有极限。使用该准则时，通常是用如下两个结论之一：a.单调递增且有上界则极限存在；b.单调递减且有下界则极限存在。有界性的证明通常采用数学归纳法，而证明单调性则用作差或作商的方法。一般地，利用该准则时，先证明有界性，后证明单调性.但有时先证明单调性，再证明有界性。6.当x趋近于零时，一般性的等价无穷小可以归纳如下：x~sinx~tanx~arcsinx~arct

2、anx~-1~ln(1+x)-1~xlna(1+x~1-cosx~7.下列说法中与的定义等价的是（A）A．当n>N时，有.B．当n>N时,有8.当时,函数的极限(D)A.2B.0C.无穷D不存在9.求.解：-2x-x10.极坐标：11.重要极限12.求利用重要极限求解.13.求利用夹逼准则求解.14.表示x的取整函数.试求解：，则有.1)当x>0时，,由夹逼准则得，极限为1；2)当x<0时,，由夹逼准则得,极限为1.15.设=10，=，其中n=1,2，3…，试证数列极限存在，并求此极限.用数学归纳法证明此数列的单调性，数列单调递减，

3、且数列每一项都大于零，由单调有界准则知此数列有极限；设，对=两边取极限，有A=。16.设a>0,,,其中n=1,2,3…，求。先用数学归纳法证明单调递增，但上界不易证明，为此可先假设=A，则可知A=，此即为数列的一个上界，但此上界形式较为复杂，论证不太方便。可将其适当放大化简：<.讨论数列的单调性和有界性时，数学归纳法是一种简洁有效的方法。17.求x~ln（1+x）xcos=018.已知2-1~xln2，~x~sinx19.讨论函数法f（x）=的连续性。，很显然，当x=0时，f（x）无意义。20.讨论函数的间断点及其类型。当x时，=

4、；当x时，=-；当x时，21.当既要证明存在性，又要证明唯一性时，存在性通常用零点定理来证明，唯一性常用单调性或用反证法来证明。22.设函数f（x）在上连续，，），且试证至少存在一点使得解：由于函数在上连续，所以有最值定理可知的最大值与最小值存在，令M=max｛

5、｝，m=min｛

6、｝，于是对任何都有m。由于，）。所以m=从而有介值定理知至少存在一点使得。证毕。23.设函数=，则（D）A．有无穷多个第一类间断点B.只有1个可去间断点C．有2个可去间断点D.有3个可去间断点24.求。去根号，等价无穷小。25.计算。降幂。26.设函数f(

7、x)可导，F（x）=f(x)(1+

8、sinx

9、),则f(0)=0是F（x）在x=0处可导的充要条件。解：由导数的定义F’（0）=，知F’_（0）==f’（0）-f（0）=f’(0)-f（0）F’（0）==f’（0）-f（0）=f’（0）-f（0）27.设f（0）=0，则f（x）在点x=0处可导的充要条件为（B）A．存在B.存在B．存在D.存在解：注意到1-cosh0，且.如果，则====f’(0)所以A成立只保证f’(0)成立，而不是f’(0)存在的条件如果存在，则==-=-f’(0)，因此B是充要条件。如果存在，则=，注意到=0，

10、所以若f’(0)若存在，则由右边推知左边极限存在且为零。若左边极限存在，则可能不存在，故f’(0)可能不存在。至于D，=，若f’(0)存在，上述右边拆项分别求极限均存在，保证了左边存在。而左边存在，不能保证右边拆项后极限也存在。28．设，其中是有界函数，则在x=0处可导。(用定义做)29．已知在x=a处可导且>0.求。解：在x=a处可导，则=且当n充分大时>0.故=exp=exp=exp=exp30．讨论函数的可导性。解：==0==0在x=0处可导。==1=-=-1在x=1处不可导。综上所述，只有在x=1处不可导，在（-，1）（1，

11、+）31．设函数连续，且，则存在，使得（C）A.在乃内单调递增B.在内单调减少C．对任意的有>D.对任意的有>解：，>0.则当时，>.32.设不恒为零的奇函数在处可导。试说明为函数的哪一类间断点。解：为奇函数，=0。存在，则存在，但是函数在处无意义。所以为函数的可去间断点。33．设函数=，则在内（）A．处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点D.至少有三个不可导点解：=，（=）==3，=0，故在x=1处不可导；同理在x=-1处也不可导。34．设的定义域为（-1，1），其中，试讨论的可导性。若可导，求其导数。解：=，==2，=

12、1。即，所以在x=0处不可导。故=35．设。解：=•+•36．设且f有二阶导数。求。解：37．已知函数具有任意阶导数且则当n为大于2的正整数时是（Ｂ　）　　Ａ．　Ｂ．　Ｃ．　Ｄ．　　解：＝２＝２　　　　＝２•３＝２•３　38.设=3则